[論文レビュー] Online Local Volatility Calibration by Convex Regularization with Morozov's Principle and Convergence Rates

Vinicius Albani, Jorge P. Zubelli|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ボホナー＝ソボレフ空間内での凸ティコノフ正則化を用いたオンライン局所ボラティリティキャリブレーション手法を提案する。これは、原資産価格でインデックス付けされた時間変化する市場データを統合する。モロゾフの不一致原理に基づき、収束速度を確立し、正則化パラメータの選択に関する理論的保証を伴う安定かつ正確なキャリブレーションを実現する。

ABSTRACT

We address the inverse problem of local volatility surface calibration from market given option prices. We integrate the ever-increasing flow of option price information into the well-accepted local volatility model of Dupire. This leads to considering both the local volatility surfaces and their corresponding prices as indexed by the observed underlying stock price as time goes by in appropriate function spaces. The resulting parameter to data map is defined in appropriate Bochner-Sobolev spaces. Under this framework, we prove key regularity properties. This enable us to build a calibration technique that combines online methods with convex Tikhonov regularization tools. Such procedure is used to solve the inverse problem of local volatility identification. As a result, we prove convergence rates with respect to noise and a corresponding discrepancy-based choice for the regularization parameter. We conclude by illustrating the theoretical results by means of numerical tests.

研究の動機と目的

• ストリーミングオプション価格から得られる局所ボラティリティ表面の不適切に定式化された逆問題を解消する。
• 原資産価格でインデックス付けされた時間変化する市場データをキャリブレーションフレームワークに統合する。
• 安定性を向上させるためにティコノフ正則化と凸解析を組み合わせたオンライン正則化手法を開発する。
• ノイズと不一致に基づく正則化パラメータ選択に関する理論的収束速度を確立する。
• 適切な関数空間におけるパラメータから解への写像の適切な定式化と正則性を保証する。

提案手法

• 原資産価格 $ S_0 $ でインデックス付けされた時間残存期間とストライクの関数として局所ボラティリティ表面をモデル化する。
• 時間依存ボラティリティ族を扱うために、ボホナー＝ソボレフ空間におけるパラメータから解への写像 $ \boldsymbol{\nu} $ を定義する。
• オンラインキャリブレーションをティコノフ正則化付き最小化問題として定式化する：$ \min \left\{ \int_{S_{\min}}^{S_{\max}}} \|F(a(S)) - C(S)\|_Y^2 dS + \alpha f_{\mathcal{A}_0}(\mathcal{A}) \right\} $。
• 不適切に定式化された逆問題の安定化に、弱下界半連続かつ強制的関数 $ f_{\mathcal{A}_0} $ を用いた凸正則化を適用する。
• ノイズレベルとデータ適合性に基づき、正則化パラメータ $ \alpha $ の選択にモロゾフの不一致原理を用いる。
• 演算子 $ \mathcal{U} $ のコンパクト性、弱連続性、弱閉性を証明し、正則化スキームの適切な定式化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変化するオプション価格からのオンラインデータを、局所ボラティリティキャリブレーションに体系的かつ効果的に統合する方法は何か？
• RQ2 ボホナー＝ソボレフ空間におけるパラメータから解への写像 $ \mathcal{U} $ がどのような正則性を有するか？
• RQ3 ノイズ下でオンライン局所ボラティリティキャリブレーションの収束速度を確立できるか？
• RQ4 不一致原理を用いて正則化パラメータを適応的に選択できるか？
• RQ5 オンラインティコノフ正則化キャリブレーションスキームの理論的安定性と収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• ボラティリティ族からオプション価格への写像 $ \mathcal{U} $ はコンパクトかつ弱閉であり、逆問題の不適切な定式化を確認する。
• 提案されたオンラインティコノフ正則化スキームにより、ノイズがゼロに近づくにつれて正則化解が真のボラティリティ表面に収束することが保証される。
• ソース条件の下で、ノイズレベル $ \delta $ に対して $ \mathcal{O}(\delta^{\frac{1}{2}}) $ の収束速度が確立される。
• 正則化パラメータ $ \alpha $ はモロゾフの不一致原理により選択され、データ適合性と安定性を保証する。
• 写像 $ \mathcal{U} $ の片側導関数は有界かつリプシッツ連続であり、解写像のフレシェ微分可能性を確認する。
• 理論的分析により、解演算子の弱連続性と弱閉性が確認され、弱収束仮定のもとでの収束が可能となる。