[論文レビュー] Online Makespan Minimization with Parallel Schedules

Susanne Albers, Matthias Hellwig|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、オンラインのマクスパン最小化のための新しいリソース拡張モデルを導入する。アルゴリズムは複数の並列スケジュールを維持し、最終的に最も良いものを選択する。定数個のスケジュールを用いた $(4/3 + \varepsilon)$-competitive アルゴリズム、および多項式個のスケジュールを用いた $(1 + \varepsilon)$-competitive アルゴリズムを提示し、両者とも標準のオンライン境界を著しく改善する。

ABSTRACT

In online makespan minimization a sequence of jobs $σ= J_1,..., J_n$ has to be scheduled on $m$ identical parallel machines so as to minimize the maximum completion time of any job. We investigate the problem with an essentially new model of resource augmentation. Here, an online algorithm is allowed to build several schedules in parallel while processing $σ$. At the end of the scheduling process the best schedule is selected. This model can be viewed as providing an online algorithm with extra space, which is invested to maintain multiple solutions. The setting is of particular interest in parallel processing environments where each processor can maintain a single or a small set of solutions. We develop a $(4/3+\eps)$-competitive algorithm, for any $0

研究の動機と目的

• 標準のオンラインのマクスパン最小化の限界を克服するため、並列スケジュール構築を通じた新しい形のリソース拡張を導入すること。
• 複数の候補スケジュールを維持することで、オンラインスケジューリングにおける競合比を著しく改善できるかを調査すること。
• 最小限の調整で近似的に最適な競合比を達成できる効率的なアルゴリズムを設計すること。
• $4/3$未満の競合比を達成するためのスケジュール数の下界を厳密に確立すること。
• 最適マクスパンとジョブ処理時間の周波数を推定するための推測スキームの実現可能性と性能を調査すること。

提案手法

• アルゴリズムは、到着する各ジョブを同時にすべてのスケジュールに割り当てる形で、複数のスケジュールを並列に構築する。
• 最適マクスパンを $1+\varepsilon$ 要因以内で予測するための新しい推測スキームを採用する。
• 入力シーケンスにおけるジョブ処理時間の周波数を推定するための第二の推測スキームを用い、推測のユニバースを適切にスパarsified してスケジュール数を制限する。
• 負荷分散とスケジュール選択の組み合わせを用いて、最終的に選ばれるスケジュールが近似的に最適なマクスパンを達成することを保証する。
• $(1+\varepsilon)$-competitive アルゴリズムでは、スケジュール数が入力サイズに依存せず、$(m/\varepsilon)^{O(\log(1/\varepsilon)/\varepsilon)}$ で抑えられる。
• スターリングの近似とベクトルマッピング技術を用いた組合せ的解析により、改善された競合比を達成するための可能なスケジュール数の下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンライン環境において複数の並列スケジュールを維持することで、マクスパン最小化の競合比を著しく低減できるか？
• RQ2 $4/3$未満の競合比を達成するための最小スケジュール数は何か？
• RQ3 最適マクスパンとジョブ処理時間の周波数を推定するための推測スキームをどのように設計すれば、スケジュール数を最小限に抑えつつ競合比を維持できるか？
• RQ4 入力サイズに依存しない多項式個のスケジュールで $(1+\varepsilon)$-competitive アルゴリズムを構築できるか？
• RQ5 提案されたモデルは、他のリソース拡張手法と比較して性能面でどのように差をつけるか？

主な発見

• $(4/3 + \varepsilon)$-competitive アルゴリズムは $1/\varepsilon^{O(\log(1/\varepsilon))}$ 個のスケジュールを用いて達成され、任意の固定された $\varepsilon > 0$ に対して定数である。
• $(1 + \varepsilon)$-competitive アルゴリズムは $(m/\varepsilon)^{O(\log(1/\varepsilon)/\varepsilon)}$ 個のスケジュールを用いて構築され、入力列 $\sigma$ に依存しない多項式の境界である。
• 競合比が $4/3$ 未満である任意のアルゴリズムは $\Omega(m)$ 個のスケジュールを構築しなければならず、$4/3$ 未満の競合比を達成するためのスケジュール数の下界を確立する。
• 並列スケジュールを用いて達成された競合比は、標準のオンラインモデルのそれよりも著しく優れており、他のリソース拡張技術を上回る。
• マクスパンとジョブ周波数推定のためのスパースな推測スキームの使用により、定数または多項式のスケジュール数を維持しながら強力な競合比を達成できる。
• 解析により、可能なスケジュール数が $\Omega((\varepsilon m)^{\lfloor 1/(4\varepsilon)\rfloor - 1/2}/\sqrt{m})$ として増加することが示され、高精度の競合比を達成するための必要なスケジュール数に対する強い下界が得られる。