[論文レビュー] Online Matching with Set and Concave Delays

Lindsey Deryckere, Seeun William Umboh|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2022

Optimization and Search Problems被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、未処理のリクエストの集合全体に依存する遅延コストをとる、セット遅延付きオンライン最小費用完全マッチング（MPMD-Set）を導入する。本稿は、遅延が未処理リクエスト数に比例するサイズベースの遅延を扱うMPMD-Setにおける、非クラリヴォイアント（未来の情報なし）なアルゴリズムの最初の提案であり、メトリカルタスクシステム（MTS）への新しい還元手法を用いて、O(2^m)-competitiveな決定的およびO(m^4)-competitiveな確率的アルゴリズムを達成する。

ABSTRACT

We initiate the study of online problems with set delay, where the delay cost at any given time is an arbitrary function of the set of pending requests. In particular, we study the online min-cost perfect matching with set delay (MPMD-Set) problem, which generalises the online min-cost perfect matching with delay (MPMD) problem introduced by Emek et al. (STOC 2016). In MPMD, m requests arrive over time in a metric space of n points. When a request arrives the algorithm must choose to either match or delay the request. The goal is to create a perfect matching of all requests while minimising the sum of distances between matched requests, and the total delay costs incurred by each of the requests. In contrast to previous work we study MPMD-Set in the non-clairvoyant setting, where the algorithm does not know the future delay costs. We first show no algorithm is competitive in n or m. We then study the natural special case of size-based delay where the delay is a non-decreasing function of the number of unmatched requests. Our main result is the first non-clairvoyant algorithms for online min-cost perfect matching with size-based delay that are competitive in terms of m. In fact, these are the first non-clairvoyant algorithms for any variant of MPMD. A key technical ingredient is an analog of the symmetric difference of matchings that may be useful for other special classes of set delay. Furthermore, we prove a lower bound of Ω(n) for any deterministic algorithm and Ω(log n) for any randomised algorithm. These lower bounds also hold for clairvoyant algorithms. Finally, we also give an m-competitive deterministic algorithm for uniform concave delays in the clairvoyant setting.

研究の動機と目的

• 未処理リクエストの集合全体に依存する遅延関数をとるオンライン最小費用完全マッチングの研究。これは、個々のリクエストに依存する遅延に関する先行研究を一般化する。
• 将来の遅延コストとメトリック構造が未知であるMPMD-Setに対して、競合比の良い非クラリヴォイアントアルゴリズムの設計。
• 非クラリヴォイアント設定における、オンラインマッチングに遅延を組み合わせた任意の変種について、最初の競合比アルゴリズムの確立。
• MPMD-Size設定において、決定的アルゴリズムのΩ(n)および確率的アルゴリズムのΩ(log n)というタイトな下界の証明。
• クラリヴォイアント設定下での均一な凹関数遅延を伴うMPMDに対して、O(m)-competitiveな決定的アルゴリズムの提供。

提案手法

• MPMD-Sizeをメトリカルタスクシステム（MTS）問題に還元し、既知のMTSアルゴリズムを活用して競合比の良いオンラインアルゴリズムを導出する。
• マッチングにおける対称差の新しいアナロジーを導入し、セット遅延コストの分析に有用であることを示す。
• 確率的敵対的アプローチを用いて下界を導出する。n点のメトリック空間とm件のリクエストを用いた入力分布を構築する。
• 下界の証明において、非活性で未満の点を条件とする期待距離コストを評価するため、調和級数の解析を適用する。
• 帰納法を用いて、各フェーズの終了時点で少なくとも2つの非活性で未満の点が存在することを証明し、避けられないマッチングコストを保証する。
• サイズベースの遅延関数の構造に対応できるよう、最新のMTSアルゴリズムを修正して適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セット遅延付きオンライン最小費用完全マッチングに対して、競合比の良い非クラリヴォイアントアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 非クラリヴォイアント設定下でのMPMD-Setにおいて、達成可能な最良の競合比は何か？
• RQ3 MPMD-Sizeの下界はnかmに依存するか？そのタイトな形は何か？
• RQ4 MTS還元フレームワークは、セット遅延問題に対して競合比アルゴリズムを効果的に導出できるか？
• RQ5 クラリヴォイアント設定下での均一な凹関数遅延を伴うMPMDに対して、O(m)-competitiveな決定的アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 本稿では、MPMD-Setに対する決定的アルゴリズムがnやmのみに依存して競合比を達成できないことを証明し、アスペクト比Φの観点からΩ(Φ)という下界を示している。
• サイズベースの遅延を伴うMPMD-Sizeに対して、非クラリヴォイアントアルゴリズムの最初の提案を提示し、O(2^m)-competitiveな決定的およびO(m^4)-competitiveな確率的性能を達成している。
• 提案されたアルゴリズムの競合比はnとは無関係にmにのみ依存しており、これにより先行研究に比べて顕著な改善が達成された。
• MPMD-Size設定において、任意の決定的アルゴリズムに対してΩ(n)、任意の確率的アルゴリズムに対してΩ(log n)という下界を証明している。
• クラリヴォイアント設定下での均一な凹関数遅延を伴うMPMDに対して、O(m)-competitiveな決定的アルゴリズムを提示している。
• 解析により、アルゴリズムの期待距離コストがΩ(log n)であることが示され、下界と一致しており、確率的下界のタイトさが証明された。