[論文レビュー] Online mixed multiscale finite element method with oversampling and its applications

Yanfang Yang, Shubin Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、高対比な不均質な多孔質媒体における流れ問題を解くために、オーバーサンプリングを用いたオンライン混合一般化多重スケール有限要素法を提案する。粗いメッシュの面上のオーバーサンプリング領域でネウマン問題を用いてオンライン基底関数を計算することにより、収束を加速し、特に高対比特徴や二相流を含む困難なケースにおいて、オーバーサンプリングなしの標準的なオンライン豊か化よりも優れた性能を示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider an online basis enrichment mixed generalized multiscale method with oversampling, for solving flow problems in highly heterogeneous porous media. This is an exten- sion of the online mixed generalized multiscale method [6]. The multiscale online basis functions are computed by solving a Neumann problem in an over-sampled domain, instead of a standard neighborhood of a coarse face. We are motivated by the restricted domain decomposition method. Extensive numerical experiments are presented to demonstrate the performance of our methods for both steady-state flow, and two-phase flow and transport problems.

研究の動機と目的

• 高対比な不均質な多孔質媒体における複雑な多重スケール特徴を捕捉できないオフライン基底関数の限界を解消すること。
• オンライン豊か化の収束速度を向上させるために、オンライン基底関数の計算にオーバーサンプリングを組み込むこと。
• 定常状態および二相流・輸送問題に適した質量保存型数値法を開発すること。
• オーバーサンプリングが動的シミュレーションにおける飽和誤差低減およびウォーター・カット予測の改善にどのように寄与するかを実証すること。

提案手法

• 質量保存を保証するため、混合有限要素法を用いる。
• 主要な多重スケール特徴を捉えるために、局所スペクトル問題を用いてオフライン基底関数を構築する。
• 前回の解からの残差を用いて、粗いメッシュの面上の周囲のオーバーサンプリング領域でネウマン問題を解き、反復的にオンライン基底関数を豊か化する。
• オーバーサンプリング技術により、粗いメッシュの面上の近傍を越えて計算領域を拡大し、オンライン基底関数の精度を向上させる。
• オーバーサンプリング領域における残差の法線成分を境界データとして用い、ネウマン問題を解くことでオンライン基底関数を取得する。
• 時間依存シミュレーション中に、変化する透水率場に適応するため、基底関数を定期的に更新する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンライン基底関数計算におけるオーバーサンプリングが、多重スケール流れシミュレーションの収束を顕著に加速できるか？
• RQ2 オーバーサンプリングは、二相流問題における飽和およびウォーター・カット予測の精度にどのように影響するか？
• RQ3 高対比媒体において、不十分なオフライン基底関数を補うために、わずかな数のオーバーサンプリング付きオンライン基底関数がどの程度有効か？
• RQ4 時間依存の流れ・輸送シミュレーションにおいて、基底関数の定期的更新がさらに精度を向上させるか？
• RQ5 オーバーサンプリングなしの標準的なオンライン豊か化と比較して、提案手法は収束速度および誤差低減の面でどのように優れているか？

主な発見

• モデル1では、2つのオンライン基底関数を追加することで、相対的飽和誤差が39.5％から8.2％に低下し、顕著な誤差低減が確認された。
• モデル2では、2つのオンライン基底関数と定期的な基底関数更新を組み合わせることで、相対的飽和誤差が28.4％から5.9％に低下した。
• オンライン基底関数を用いたウォーター・カット予測は、参照解とほぼ同一であり、特に5ステップごとに基底関数を更新した場合に顕著であった。
• オーバーサンプリング付きオンライン手法は、特に高対比および長チャネルシナリオにおいて、標準的なオーバーサンプリングなしのオンライン豊か化よりも高速な収束を達成した。
• 異なる対比順序においても一貫した収束率を維持しており、媒体の不均質性に対して頑健であることが示された。
• 最小限のオンライン豊か化でも、二相流におけるフィンガリングやチャネリングといった複雑な流れ特徴を効果的に捉えることができた。