[論文レビュー] Online Stochastic Matching: New Algorithms and Bounds

Brian Brubach, Karthik Abinav Sankararaman+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、既知の i.i.i.d. モデル下でのエッジ重み付きおよびバーテックス重み付き二部マッチングにおける、より優れたオンライン確率的マッチングアルゴリズムを提示する。新規のラウンド手法を用い、分数のLP解を {0, 1/k, ..., 1} の構造的点に射影することで、重要な制約を保持する。主な結果として、一般エッジ重みでは 0.705、バーテックス重みでは 0.7299 の競合比を達成し、従来の境界を顕著に改善する。

ABSTRACT

Online matching has received significant attention over the last 15 years due to its close connection to Internet advertising. As the seminal work of Karp, Vazirani, and Vazirani has an optimal (1 - 1/e) competitive ratio in the standard adversarial online model, much effort has gone into developing useful online models that incorporate some stochasticity in the arrival process. One such popular model is the "known I.I.D. model" where different customer-types arrive online from a known distribution. We develop algorithms with improved competitive ratios for some basic variants of this model with integral arrival rates, including (a) the case of general weighted edges, where we improve the best-known ratio of 0.667 due to Haeupler, Mirrokni and Zadimoghaddam to 0.705; and (b) the vertex-weighted case, where we improve the 0.7250 ratio of Jaillet and Lu to 0.7299. We also consider an extension of stochastic rewards, a variant where each edge has an independent probability of being present. For the setting of stochastic rewards with non-integral arrival rates, we present a simple optimal non-adaptive algorithm with a ratio of 1 - 1/e. For the special case where each edge is unweighted and has a uniform constant probability of being present, we improve upon 1 - 1/e by proposing a strengthened LP benchmark.

研究の動機と目的

• オンライン確率的マッチングにおける、最高の既知の競合比と理論的下界の差を埋める。
• 整数到着レートを伴うエッジ重み付きおよびバーテックス重み付きオンライン二部マッチングのためのより効果的なアルゴリズムを開発する。
• 先行研究で確立されたエッジ重み付きマッチングの 0.667 およびバーテックス重み付きマッチングの 0.7250 の比率を改善する。
• より厳密なLP定式化に有効制約を追加することでアルゴリズム設計を導き、性能保証を向上させる。
• 非整数到着レートを伴う確率的報酬モデルで 1−1/e より高い競合比を達成できるかどうかを調査する。

提案手法

• 整数 k を選定し、分数のLP解を {0, 1/k, 2/k, ..., 1} の座標を持つ構造的解に写像する新しいラウンドフレームワークを提案する。
• 従属確率的ラウンドを用い、削除された制約の期待値を保持すると同時に、マッチングポリトープ上で妥当性を保証する。
• エッジ重み付き設定における二択アプローチの力を強化するため、単一のLP解から二重マッチング構造を構築する。
• 有効制約を追加してLPベンチマークを強化し、分数解を改善した後、ラウンドプロセス中に集中性を維持したままそれらを除去する。
• 初期の分数解から構造的解への確率的移動中に、重要な制約の期待値が保持されることを示す確率的解析を適用する。
• よりタイトな制約を備えた変更されたLP定式化を用い、非適応的および適応的アルゴリズムの設計を、確率的報酬と整数到着レートの両方でガイドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数到着レートを伴うエッジ重み付きオンライン確率的マッチングで、0.705 を超える競合比を達成できるか？
• RQ2 既知の i.i.i.d. モデル下で、バーテックス重み付きマッチングの競合比を 0.7250 を超えて改善できるか？
• RQ3 非整数到着レートを伴う確率的報酬モデルで、1−1/e より厳密に高い競合比を達成できるか？
• RQ4 非整数到着レートを伴う確率的報酬モデルで、非適応的アルゴリズムが最適の 1−1/e 競合比を達成できるか？
• RQ5 従属ラウンドにおけるより厳密なLP定式化とより長い確率的リストは、バーテックス重み付きおよびエッジ重み付き設定における競合比をどの程度向上できるか？

主な発見

• 本稿では、整数到着レートを伴うエッジ重み付きオンライン確率的マッチングで、0.705 の競合比を達成し、従来の最高水準である 0.667 を上回る。
• バーテックス重み付きケースでは、競合比が 0.7299 に向上し、以前の最高水準である 0.7250 を上回る。
• 非適応的アルゴリズムが、非整数到着レートを伴う確率的報酬モデルで、最適の 1−1/e 競合比を達成することを提示する。
• 均一な確率的報酬を伴う非重み付きマッチングでは、適応的アルゴリズムが 0.702 以上の競合比を達成し、かつてはタイトと見なされた 1−2e−2 の境界を上回る。
• 提案されたラウンド手法は、高い確率で重要な制約を概ね保持し、期待値では正確に保持するため、より強い理論的保証を可能にする。
• 解析により、f′_u ≥ ln2/2 のとき、競合比は 0.702 以上に下界づけられ、f′_u ≤ ln2/2 のときには 0.8 以上に下界づけられ、全体として一様な下界 0.702 を保証する。