[論文レビュー] Onsager-Machlup action functional for stochastic partial differential equations with Levy noise

Jianyu Hu, Jinqiao Duan|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間におけるブラウン運動および非ガウス型レヴィノイズを駆動源とする確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、オンサガー＝マクスプ行動関数を導出する。ギルサノフ変換と新規の経路表現技術を用いて、行動関数の最小化によりメタ安定状態間の最も確率的な遷移経路を同定可能とし、一般のレヴィノイズを有する無限次元系における初の此类の導出を達成した。

ABSTRACT

This work is devoted to deriving the Onsager-Machlup action functional for stochastic partial differential equations with (non-Gaussian) Levy process as well as Gaussian Brownian motion. This is achieved by applying the Girsanov transformation for probability measures and then by a path representation. This enables the investigation of the most probable transition path for infinite dimensional stochastic dynamical systems modeled by stochastic partial differential equations, by minimizing the Onsager-Machlup action functional.

研究の動機と目的

• 非ガウス型レヴィノイズを伴う無限次元確率的力学系へのオンサガー＝マクスプ行動関数の拡張を図ること。これは、古典的なブラウン運動のケースを超えるものである。
• レヴィ駆動型SPDEにおけるカルフン＝ロイゼン成分の非独立性という課題を克服すること。これは、標準的なL²ベースの正規化手法が無効になるためである。
• 変分原理を用いて、一般のレヴィノイズを有するSPDEにおけるメタ安定状態間の最も確率的な遷移経路を計算するための厳密な枠組みを確立すること。
• 有限次元系における既存の結果を、特に小ジャンプおよび大ジャンプを有するレヴィ過程を含む無限次元系へ一般化すること。
• 重尾ノイズを有するSPDEでモデル化される複雑系におけるレアイベントおよび遷移メカニズムの研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 確率測度の再重み付けを可能にし、漂移項の吸収と経路別解析を容易にするために、ギルサノフ変換を適用する。
• 無限次元設定におけるレヴィ過程の非マルコフ性および非ガウス性に対処するための経路表現法を導入する。
• カマリット＝マーティン空間の枠組みを用いて、行動関数を経路変動のラグランジアンとして定義し、作用の最小化によって最も確率的な経路を同定する。
• 行動関数を $ J_0( heta, heta') = -\frac{1}{2} \bigintsss_0^1 \big\backslash| \nabla \theta(t) + F(t, \theta(t)) - \theta'(t) - \nu \big\backslash|^2_H dt $ の形で導出する。ここで $ \nu $ はレヴィジャンプ特性を表す。
• 非線形漂移 $ F $ のフレシェ微分を用い、状態空間における $ C_b^2 $ 正則性を保証することで、微分可能性および安定性を確保する。
• 例の状況では、ヤコビアン $ \nabla_x F $ のトレースがゼロであることが示され、行動関数が残余漂移およびノイズ項にのみ依存するよう簡略化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間における非ガウス型レヴィノイズを駆動源とするSPDEに対して、オンサガー＝マクスプ行動関数をどのように一般化できるか。
• RQ2 カルフン＝ロイゼン展開における標準的なL²正規化および独立性仮定の破綻を克服するための数学的技法は何か。これは、レヴィ過程に対して成立しない。
• RQ3 無限次元SPDEにおけるメタ安定状態間の最も確率的な遷移経路は、レヴィノイズ下で行動関数の最小化により計算可能か。
• RQ4 ノイズにブラウン運動および任意のジャンプサイズ分布を有するレヴィジャンプを含む場合、オンサガー＝マクスプ関数の構造はどのようになるか。
• RQ5 レヴィ過程に大ジャンプが含まれる場合、小ジャンプまたはポアソン近似と比較して、行動関数の形および解釈はどのように変化するか。

主な発見

• 本稿は、ブラウン運動およびレヴィノイズを併用するSPDEに対して、一般のレヴィ過程を有する無限次元系における初の結果として、オンサガー＝マクスプ行動関数を成功裏に導出した。
• 導出された行動関数は $ J_0(\theta, \theta') = -\frac{1}{2} \bigintsss_0^1 \big\backslash| \nabla \theta(t) + F(t, \theta(t)) - \theta'(t) - \nu \big\backslash|^2_H dt $ で与えられ、ここで $ \nu = \bigoplus_j e_j \bigintsss_{-1}^1 \frac{c_j e^{-\beta_j x}}{x^{1+\beta_j}} dx $ であり、これはレヴィジャンプ特性を捕捉する。
• 経路表現法は、カルフン＝ロイゼン成分の独立性欠如に対処し、従来の手法の主な障壁を克服した。
• 行動関数は、レヴィ過程における小ジャンプおよび大ジャンプの両方に対して有効であり、従来の小ジャンプ近似に限定された研究を拡張した。
• 例の状況では、フレシェ微分 $ \nabla_x F $ のトレースが消えることが確認され、行動関数が残余漂移およびノイズ項にのみ依存するよう簡略化され、既知の有限次元ケースと整合することが裏付けられた。
• この枠組みにより、オイラー＝ラグランジュ方程式を用いて最も確率的な遷移経路を計算可能となり、複雑系におけるレアイベント解析の変分的ルートを提供した。