[論文レビュー] Onsager reciprocity principle for kinetic models and kinetic schemes

A.K. Mahendra, Ramesh Singh|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 47被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、オンサッガーの対称性則と非平衡熱力学に基づく新しい運動論的モデルを提案し、運動論的シミュレーションにおける正しい輸送係数とエントロピー生成を保証する。衝突確率関数 $\mathbb{P}(\bar{y})$ を組み込むことで、希薄流と連続体流の両方を1つの統合型スカラーで扱えるようになり、壁境界条件においてもスリップ流をスケールに跨って正確に捉えることができる。多スケール結合にかかるコストは不要である。

ABSTRACT

Boltzmann equation requires some alternative simpler kinetic model like BGK to replace the collision term. Such a kinetic model which replaces the Boltzmann collision integral should preserve the basic properties and characteristics of the Boltzmann equation and comply with the requirements of non equilibrium thermodynamics. Most of the research in development of kinetic theory based methods have focused more on entropy conditions, stability and ignored the crucial aspect of non equilibrium thermodynamics. The paper presents a new kinetic model formulated based on the principles of non equilibrium thermodynamics. The new kinetic model yields correct transport coefficients and satisfies Onsager's reciprocity relationship. The present work also describes a novel kinetic particle method and gas kinetic scheme based on this linkage of non-equilibrium thermodynamics and kinetic theory. The work also presents derivation of kinetic theory based wall boundary condition which complies with the principles of non-equilibrium thermodynamics, and can simulate both continuum and rarefied slip flow in order to avoid extremely costly multi-scale simulation.

研究の動機と目的

• ボルツマン方程式の基本的性質を保ちつつ、非平衡熱力学、特にオンサッガーの対称性則とエントロピー生成則に準拠する運動論的モデルの構築を目的とする。
• 既存の運動論スキームに見られる熱力学的整合性の欠如に起因する問題を解決し、エントロピー生成を重視する一方で、共役な熱力学的力へのエントロピー分配が正しく行われない問題を是正することを目的とする。
• 非平衡熱力学を衝突モデルに埋め込むことで、希薄流から連続体流まで、全流れ領域を滑らかにカバーする統合型運動論粒子法および気体運動論スキームの開発を目的とする。
• 非平衡熱力学を満たし、多スケールモデリングを必要とせず、連続体的および希薄なスリップ流を正確に再現できる運動論的壁境界条件の導出を目的とする。
• 提案されたフレームワークを連続体および希薄な流れ領域をカバーするテストケースに適用し、その正確性と頑健性を検証することを目的とする。

提案手法

• オンサッガーの変分原理を用いて新しい運動論的モデルを定式化し、輸送係数の対称性とオンサッガーの対称性則への準拠を保証する。
• 衝突確率関数 $\mathbb{P}(\bar{y})$ を導入し、Knudsen層内での法線距離 $\bar{y} = y/\lambda_e$ の関数として、緩和時間 $\tilde{t}_{R(j)} = \mathbb{P}(\bar{y})t_{R(j)}$ を調節する。
• 新しいモデルに基づく運動論的フラックスベクトル分割法および粒子法を導出する。ここで、粘性フラックスは $\mathbb{P}(\bar{y})$ でスケーリングされ、非平衡効果を反映する。
• マクスウェルの気体相互作用モデルを用いて壁境界条件を構築し、入射、反射、拡散分布をアコモデーション係数 $\sigma$ で重み付けする。非平衡部は壁面で消える（$\mathbb{P}(0) = 0$）。
• 拡張非平衡熱力学（EIT）フレームワークを用いてKnudsen層内の非線形フラックス-力関係をモデル化し、EITフラックスを $\boldsymbol{J}_i \approx \mathbb{P}(\bar{y}) \sum_j \boldsymbol{L}_{ij} \odot \boldsymbol{X}_j$ で近似する。
• Knudsen層ではチャップマン＝エンスコーグ分布を用い、非平衡部を $f_1(\bar{y}) = f_0 - \mathbb{P}(\bar{y}) \sum_j \boldsymbol{\Upsilon}_j \odot \boldsymbol{X}_j$ として表現することで、熱力学的整合性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンサッガーの対称性則を満たすと同時に、プラントル数などの正しい輸送係数を保証できる運動論的モデルはどのように構築できるか？
• RQ2 非平衡熱力学を衝突モデルに埋め込むことで、希薄流と連続体流の両方を正確にシミュレートできる統合型運動論スキームを設計できるか？
• RQ3 衝突確率関数 $\mathbb{P}(\bar{y})$ は、Knudsen層全域における粘性フラックスの統合的取り扱いをどのように可能にするか？
• RQ4 非平衡熱力学を満たし、希薄および連続体領域の両方におけるスリップ流を正確に再現できる運動論的壁境界条件はどのように導出できるか？
• RQ5 提案されたモデルは、応力や熱勾配といった異なる熱力学的力へのエントロピー生成の分配をどの程度正しく保証するか？

主な発見

• 提案された運動論的モデルはオンサッガーの対称性則を満たし、正しいプラントル数を生成することで、輸送特性における熱力学的整合性を確保する。
• 運動論スキームにおける粘性フラックス成分は衝突確率関数 $\mathbb{P}(\bar{y})$ でスケーリングされており、Knudsen層内の非平衡効果を正確に解像可能である。
• マクスウェルの気体相互作用モデルに基づく壁境界条件は、鏡面反射および拡散反射を正しく捉えており、$\mathbb{P}(0) = 0$ のため非平衡部が壁面で消える。
• Knudsen層における状態更新式には $\mathbb{P}(\bar{y})$ 依存の緩和時間が組み込まれており、壁に近づくに従い非平衡状態から平衡状態への滑らかな遷移が可能である。
• 新しいモデルに基づく運動論的粒子法およびフラックスベクトル分割スキームは、連続体的および希薄なスリップ流のテストケースを成功裏にシミュレートし、フレームワークの頑健性と正確性を示している。
• 非平衡熱力学を運動論フレームワークに直接埋め込むことで、多スケールシミュレーションの高コストな必要性を回避し、あらゆる流れ領域にわたる統合型スカラーを実現している。