[論文レビュー] Onsager's energy conservation for inhomogeneous Euler equations

Robin Ming Chen, Cheng Yu|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元および3次元の非一様Euler方程式の弱解におけるエネルギー保存の十分条件を確立する。密度および速度場の正則性をBesov型推定を用いて分析することで、エネルギー保存が2つの条件下で成立することを証明する：密度の空間勾配の可積分性（古典的結果の拡張）および速度の強化された時間正則性（粗い密度プロファイルを許容可能）。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of energy conservation for the two- and three-dimensional density-dependent Euler equations. Two types of sufficient conditions on the regularity of solutions are provided to ensure the conservation of total kinetic energy on the entire time interval including the initial time. The first class of data assumes integrability on the spatial gradient of the density, and hence covers the classical result of Constantin-E-Titi for the homogeneous Euler equations. The other type of data imposes extra time Besov regularity on the velocity profile, and the corresponding result can be applied to deal with a wide class of rough density profiles.

研究の動機と目的

• 可変密度を伴う非一様Euler方程式の弱解におけるエネルギー保存を扱う。
• 密度の非一様性が新たな解析的課題をもたらす非一様系への、Onsagerの予想におけるエネルギー保存の拡張を図る。
• 時間的全運動エネルギー保存を保証する密度および速度の十分正則性条件を同定する。
• 密度がゼロに近づく真空中の状況を扱い、密度がゼロから離れているという仮定を避ける。
• 均質流に対する先行研究を一般化し、強化された速度正則性を用いて粗い密度プロファイルを組み込む。

提案手法

• 運動量方程式を滑らか化し、滑らか化された速度場でテストすることでエネルギー恒等式を導出する。
• 滑らか化に起因する非線形項（特に積 $ \rho \mathbf{u} $ に関連する項）を制御するため、交換子推定を用いる。
• 空間および時間におけるBesov空間推定を用いて速度場の正則性を扱い、特に $ \mathbf{u} \in B_p^{\beta,\infty}(0,T; B_q^{\alpha,\infty}(\mathbb{T}^N)) $ を考慮する。
• 時間微分項を $ \varepsilon^{\alpha + 2\beta - 1} $ の減衰で制御し、$ \alpha + 2\beta > 1 $ を要求することで、0への収束を保証する。
• 速度の発散なし構造と $ \sqrt{\rho} \mathbf{u} $ の $ L^2 $ における弱連続性を用いて、任意の時刻における初期エネルギーを回復する。
• Lemma 2.2 を用いて、$ (\rho \mathbf{u})^\varepsilon - \rho^\varepsilon \mathbf{u} $ に関する交換子推定を行い、$ \varepsilon^\alpha $ 型の減衰を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様Euler方程式の弱解において、密度および速度場のどの正則性条件下で全運動エネルギーが保存されるか？
• RQ2 密度がゼロから離れているとは限らない場合（真空中を含む）に、エネルギー保存を確立できるか？
• RQ3 速度場の時間正則性が、密度プロファイルの粗さをどのように補完するか？
• RQ4 非一様系におけるエネルギー保存のための正則性の鋭い閾値（HölderまたはBesovノルムの観点から）は何か？
• RQ5 均質流に対する古典的Onsager予想を、可変密度を伴う非一様系に拡張できるか？

主な発見

• 密度の空間勾配が可積分であればエネルギーが保存され、これは均質流に対するConstantin-E-Titiの古典的結果を回復する。
• 速度場が十分な時間正則性を有する場合、特に $ \mathbf{u} \in B_p^{\beta,\infty}(0,T; B_q^{\alpha,\infty}(\mathbb{T}^N)) $ で $ \alpha + 2\beta > 1 $ を満たす場合、粗い密度プロファイルであってもエネルギーが保存される。
• 密度がゼロから離れている必要がないため、真空中の状況を扱う方法を回避する。
• 時間交換子項は $ \alpha + 2\beta > 1 $ のとき $ \varepsilon \to 0 $ で消えるため、滑らか化されたエネルギー恒等式の収束が保証される。
• エネルギー恒等式はすべての $ t \in [0,T] $ で成り立ち、$ \sqrt{\rho} \mathbf{u} \in C([0,T]; L^2) $ および $ \sqrt{\rho} \in C([0,T]; L^2_{\text{weak}}) $ であり、弱連続性が保証される。
• 結果は2次元および3次元の周期的領域に適用可能であり、非一様流体におけるOnsager型エネルギー保存の適用範囲を拡張する。