[論文レビュー] Opérateurs d'entrelacement et algèbres de Hecke avec paramètres d'un groupe réductif $p$-adique - le cas des groupes classiques

Volker Heiermann|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、$p$-進古典的群（シンプレクティック群、直交群、一般線型群の内部形式）の滑らかな表現の族における、ある種の誘導された射影的生成子の自己準同型代数を計算する。ベルンシュタインの枠組みを用い、相互作用作用素を分析することで、この代数がパラメータ付きヘッケ代数と有限群代数の半直積に同型であることを証明する。既知の結果を一般化し、これらの代数の明示的な構造を与える。

ABSTRACT

For $G$ a symplectic or orthogonal $p$-adic group (not necessarily split), or an inner form of a general linear $p$-adic group, we compute the endomorphism algebras of some induced projective generators à la Bernstein of the category of smooth representations of $G$ and show that these algebras are isomorphic to the semi-direct product of a Hecke algebra with parameters by a finite group algebra. Our strategy and parts of our intermediate results apply to a general reductive connected $p$-adic group.

研究の動機と目的

• $p$-進古典的群の滑らかな表現の族における誘導された射影的生成子の自己準同型代数の構造を特定すること。
• この代数がパラメータ付きヘッケ代数と有限群代数の半直積に同型であることを示すこと。
• ベルンシュタインのカテゴリの同値性を、古典的群に対して明示的な代数的同型に拡張すること。
• その結果得られる代数的構造が、放物型誘導とヤコビ関手と整合するかを検証すること。
• 軌道空間上の正則関数の上の基底を用いた、自己準同型代数の明確な実現を与えること。

提案手法

• $Rep(^{W}\mathcal{O})$ のカテゴリと $\mathrm{End}_G(i_P^G \mathrm{ind}_{M^1}^M E_1)$ 上の右加群のカテゴリとの間のベルンシュタインの同値性を利用する。
• 相互作用作用素の理論と、それらが誘導表現に作用する方法を応用して、自己準同型代数を分析する。
• 軌道空間 $\mathcal{O}$ 上の正則関数の環上の自己準同型代数の基底を構成する。
• リー代数の作用と有限群 $R(\mathcal{O})$ の作用を用いて、半直積構造を定義する。
• 相互作用作用素が放物型誘導とヤコビ関手と整合することを用いて、函子的性を検証する。
• モエリンとアーバートによって確立された古典的群のヘッケ代数パラメータの既知のパラメータ化に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-進古典的群における誘導された射影的生成子 $i_P^G \mathrm{ind}_{M^1}^M E_1$ の自己準同型代数の明示的な構造は何か？
• RQ2 自己準同型代数は、パラメータ付きヘッケ代数と有限群代数の半直積として実現可能か？
• RQ3 $R(\mathcal{O})$ の元による共役作用の下で、相互作用作用素 $T_w$ と $J_r$ はどのように作用するか？
• RQ4 結果得られる代数的同型は、放物型誘導とヤコビ関手と整合するか？
• RQ5 古典的群におけるヘッケ代数の正確なパラメータ $q^{a_{s_\alpha}+b_{s_\alpha}}$ と $q^{a_i - b_i}$ は何か？

主な発見

• 自己準同型代数 $\mathrm{End}_G(i_P^G E_{B_{\mathcal{O}}})$ は、半直積 $\mathbb{C}[R(\mathcal{O})]\ltimes \mathrm{H}(\Sigma_{\mathcal{O}}, \{q^{a_{s_\alpha}+b_{s_\alpha}}\}, \{q^{a_i - b_i}\})$ に同型である。
• ヘッケ代数のパラメータ $q^{a_{s_\alpha}+b_{s_\alpha}}$ と $q^{a_i - b_i}$ は、古典的群に対して明示的に決定されており、アービト＝ラングランズ理論から既知の値である。
• $R(\mathcal{O})$ の作用は、リー代数の元に対して $T_w J_r = J_r T_{r^{-1}wr}$ を満たし、半直積構造と整合することが確認された。
• カテゴリ $Rep(^{W}\mathcal{O})$ は、構成された半直積代数上の右加群のカテゴリと同値である。
• そのカテゴリの同型は、相互作用作用素の函手的性により、放物型誘導とヤコビ関手と整合することが検証された。
• 結果は、任意の連結再帰的 $p$-進群へ一般化可能であるが、一般の場合にはねじれ群代数が必要となる可能性がある。