[論文レビュー] Opdam's hypergeometric functions: product formula and convolution structure in dimension 1

Jean-Philippe Anker, Fatma Ayadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 8被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}$ 上のオプダムの超幾何関数 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ に対して、積公式を確立する。この公式により、積 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(x)\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(y)$ が、明示的で一様有界だが、必ずしも正でない核を用いた $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(z)$ に対する積分として表現される。その後、関連する平行移動作用素を用いて畳み込み構造を構築し、$L^p$ 空間におけるクンツェ・シュタイン型現象を証明する。これは、ジャコビ関数およびダンクル関数に関する既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

Let $G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}$ be the eigenfunctions of the Dunkl-Cherednik operator $T^{(\\alpha,\\beta)}$ on $\\mathbb{R}$. In this paper we express the product $G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}(x)G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}(y)$ as an integral in terms of $G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}(z)$ with an explicit kernel. In general this kernel is not positive. Furthermore, by taking the so-called rational limit, we recover the product formula of M. R\\"osler for the Dunkl kernel. We then define and study a convolution structure associated to $G_{\\lambda}^{(\\alpha,\\beta)}$.

研究の動機と目的

• オプダムの超幾何関数 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ に対して、ジャコビ関数およびダンクル関数の既知の公式に類似した、$\mathbb{R}$ 上の積公式を導出すること。
• 導出された積公式を用いて、$\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ に関連する畳み込み構造を定義し、その性質を研究すること。
• $\ast_{\alpha,\beta}$-畳み込みに関して、$L^p$-空間におけるクンツェ・シュタイン型現象を確立すること。
• $L^2(\mathbb{R}, A_{\alpha,\beta}(|x|)dx)$ に正規直交基底 $\{{\rm H}_n^\delta\}$ を構成することにより、クーンワインダーの結果を一般化し、有理的極限でエルミート関数を回復すること。

提案手法

• ジャコビ関数 $\varphi_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ の既知の積公式を、微分関係を用いて $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ に持ち上げることで、積公式を導出する。
• 積公式における核として測度 $\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}$ を定義し、$x,y$ に関して一様有界で、コンパクトに台を持つ実数値関数であることを示す。
• 積公式に基づき、平行移動作用素 $\tau_x^{(\alpha,\beta)}f(y) = \int_{\mathbb{R}} f(z)\,d\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}(z)$ を導入する。
• 畳み込み $f \ast_{\alpha,\beta} g(x) = \int_{\mathbb{R}} \tau_x^{(\alpha,\beta)}f(-y)\,g(y)\,A_{\alpha,\beta}(|y|)\,dy$ を定義し、可換性およびフーリエ変換における乗法性を証明する。
• オプダム＝チェレドニク変換 $\mathcal{F}$ を用いて、$\mathcal{F}(f \ast_{\alpha,\beta} g) = \mathcal{F}(f)\mathcal{F}(g)$ を示し、畳み込み構造の正当性を確認する。
• $\mathrm{Dunkl}$–チェレドニク作用素 $T^{(\alpha,\beta)}$ を用いたロドリゲス型公式により、$L^2(\mathbb{R}, A_{\alpha,\beta}(|x|)dx)$ 内の正規直交基底 $\{{\rm H}_n^\delta\}$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オプダムの超幾何関数 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}$ に対して、$\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(x)\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(y)$ を $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(z)$ に対する積分として表現する積公式を確立できるか？
• RQ2 積公式における核 $\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}$ の性質、特に正値性と有界性についての特性は何か？
• RQ3 積公式および関連する平行移動作用素を用いて、畳み込み構造をどのように定義し、研究できるか？
• RQ4 $L^p$-空間における $\ast_{\alpha,\beta}$-畳み込みに関して、クンツェ・シュタイン型現象が成立するか？
• RQ5 $L^2(\mathbb{R}, A_{\alpha,\beta}(|x|)dx)$ 内に、クーンワインダーの基底を一般化し、有理的極限でエルミート関数を回復する正規直交基底を構成できるか？

主な発見

• 核 $\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}$ が実数値で、コンパクトに台を持ち、$x,y$ に関して一様有界である限り、積公式 $\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(x)\mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(y) = \int_{\mathbb{R}} \mathrm{G}_{\lambda}^{(\alpha,\beta)}(z)\,d\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}(z)$ が成り立つ。この核は必ずしも正でない。
• 積公式の有理的極限は、M. ローゼラーによって確立された、ダンクル核の既知の積公式を回復する。
• 積公式に基づき定義された平行移動作用素 $\tau_x^{(\alpha,\beta)}$ は、$\tau_x^{(\alpha,\beta)}f(y) = \int_{\mathbb{R}} f(z)\,d\mu_{x,y}^{(\alpha,\beta)}(z)$ を満たし、一貫性のある畳み込み構造を可能にする。
• 畳み込み $f \ast_{\alpha,\beta} g$ は可換であり、$\mathcal{F}$ をオプダム＝チェレドニク変換とするとき、$\mathcal{F}(f \ast_{\alpha,\beta} g) = \mathcal{F}(f)\mathcal{F}(g)$ を満たす。
• クンツェ・シュタイン型現象が成立する：$1 \leq p,q \leq \infty$ かつ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} \geq 1$ のとき、$\ast_{\alpha,\beta}$-畳み込みは $L^p \times L^q$ を $L^r$ に写像し、$\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} - 1$ を満たす。適切な条件下で成立する。
• $L^2(\mathbb{R}, A_{\alpha,\beta}(|x|)dx)$ における正規直交基底 $\{{\rm H}_n^\delta\}$ が、ロドリゲス型公式 $\mathrm{H}_n^\delta(x) = \tilde{\rm P}_n^\delta(T_x^{(\alpha,\beta)}) (\cosh x)^{-\alpha-\beta-\delta-2}$ を用いて構成される。ここで $\tilde{\rm P}_n^\delta$ は作用素 $T_x^{(\alpha,\beta)}$ に関する超幾何多項式である。