[論文レビュー] Open-closed Gromov-Witten invariants of 3-dimensional Calabi-Yau smooth toric DM stacks

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3次元Calabi-Yauな滑らかなトーリックDeligne-MumfordスタックとAganagic-Vafaブレーンの相対的な、開-閉Gromov-Wittenインバリアントの包括的フレームワークを、トーラス局所化と代数的相対オルビフォールドGromov-Witten理論を用いて確立する。生成関数 $ F_{g,h}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ が、一般に非自明な安定化子を持つオルビフォールド設定に一般化された、生成関数 $ F_{0,1}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ と鏡曲線のAbel-Jacobi写像を結ぶ、開鏡対称定理を証明する。

ABSTRACT

We study open-closed orbifold Gromov-Witten invariants of 3-dimensional Calabi-Yau smooth toric Deligne-Mumford (DM) stacks (with possibly non-trivial generic stabilizers and semi-projective coarse moduli spaces) relative to Lagrangian branes of Aganagic-Vafa type. We present foundational materials of enumerative geometry of stable holomorphic maps from bordered orbifold Riemann surfaces to a 3-dimensional Calabi-Yau smooth toric DM stack with boundaries mapped into a Aganagic-Vafa brane. All genus open-closed Gromov-Witten invariants are defined by torus localization and depend on the choice of a framing which is an integer. We also provide another definition of all genus open-closed Gromov-Witten invariants based on algebraic relative orbifold Gromov-Witten theory; this generalizes the definition in Li-Liu-Liu-Zhou [arXiv:math/0408426] for smooth toric Calabi-Yau 3-folds. When the toric DM stack a toric Calabi-Yau 3-orbifold (i.e. when the generic stabilizer is trivial), we define generating functions of open-closed Gromov-Witten invariants or arbitrary genus $g$ and number $h$ of boundary circles; it takes values in the Chen-Ruan orbifold cohomology of the classifying space of a finite cyclic group of order $m$. We prove an open mirror theorem which relates the generating function of orbifold disk invariants to Abel-Jacobi maps of the mirror curve of the toric Calabi-Yau 3-orbifold. This generalizes a conjecture by Aganagic-Vafa [arXiv:hep-th/0012041] and Aganagic-Klemm-Vafa [arXiv:hep-th/0105045] (proved in full generality by the first and the second authors in [arXiv:1103.0693]) on the disk potential of a smooth semi-projective toric Calabi-Yau 3-fold.

研究の動機と目的

• 3次元Calabi-Yauな滑らかなトーリックDeligne-MumfordスタックとAganagic-Vafaブレーンの相対的な、すべての生成関数の開-閉Gromov-Wittenインバリアントを定義すること。
• 代数的相対オルビフォールドGromov-Witten理論を用いて、開-閉インバリアントの定義を一般化し、複素構造の方向付けと整合性を保証すること。
• 一般に自明な安定化子をもつトーリックオルビフォールドに対して、$ H^{*}_{\text{CR}}(\tilde{B}\boldsymbol{\nu}_{\frak{m}};\mathbb{C})^{\bigotimes h} $ に値をとる生成関数 $ F_{g,h}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ を構成すること。
• 生成関数 $ F_{0,1}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ と鏡曲線のAbel-Jacobi写像を結ぶ、開鏡対称定理を証明すること。
• 非自明な一般安定化子とフレーミング選択を含む、オルビフォールドの場合へのAganagic-Vafa鏡予想の拡張すること。

提案手法

• 境界がAganagic-Vafaブレーン $ \tilde{L} $ に写像される、オルビフォールドリーマン面から $ \tilde{X} $ への安定な正則写像のモジュライ空間におけるトーラス局所化により、開-閉インバリアントを定義する。
• 生成関数と方向付けデータに影響を与える、重要なパラメータとしてフレーミング $ f \neq 0 $ を導入する。
• 代数的相対オルビフォールドGromov-Witten理論を用いた代替定義を構成し、相対安定写像モジュライの複素構造と整合する標準的な方向付けを保証する。
• $ \tilde{X} $ がトーリックオルビフォールド（すなわち、一般に自明な安定化子）である場合、$ H^{*}_{\text{CR}}(\tilde{B}\boldsymbol{\nu}_{\frak{m}};\mathbb{C})^{\bigotimes h} $ に値をとる生成関数 $ F_{g,h}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ を定義する。ここで $ \tilde{B}\boldsymbol{\nu}_{\frak{m}} $ は $ \boldsymbol{\nu}_{\frak{m}} $ の分類空間である。
• 逆ラプラス変換とBarnes型積分の留数解析を用いて、$ F_{0,1}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ を鏡曲線のAbel-Jacobi写像と結ぶことで、開鏡対称定理を証明する。
• 逆ラプラス変換を用いて生成関数を2つの部分に分解する：$ h^+ $（$ (-X)^{1/f} $ のべきの項）と $ h^- $（$ X $ のべきの項）。解析接続と留数計算により、係数が一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な一般安定化子をもつ3次元Calabi-Yauな滑らかなトーリックDMスタックに対して、開-閉Gromov-Wittenインバリアントを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 オルビフォールド設定において、標準的な複素構造方向付けを尊重する、相対的開-閉インバリアントの正しい代数的幾何的定式化は何か？
• RQ3 Aganagic-Vafaの開鏡対称性予想を、非自明な $ \boldsymbol{\nu}_{\frak{m}} $-gerbes をもつトーリックCalabi-Yau 3-オルビフォールドの場合に一般化できるか？
• RQ4 フレーミング選択 $ f \neq 0 $ は、オルビフォールド設定における生成関数と鏡写像にどのように影響を与えるか？
• RQ5 特殊関数の観点から、生成関数 $ F_{0,1}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ の正確な構造は何か？また、鏡曲線のAbel-Jacobi写像とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、トーラス局所化を用いて、非自明な一般安定化子をもつ3次元Calabi-Yauな滑らかなトーリックDMスタックとAganagic-Vafaブレーンの相対的な、すべての生成関数の開-閉Gromov-Wittenインバリアントを構成する。インバリアントはフレーミング $ f \in \mathbb{Z} $ に依存する。
• 相対オルビフォールドGromov-Witten理論を用いた代数的定義が提示され、相対安定写像モジュライ空間上の複素構造に由来する標準的方角付けと整合することが保証される。
• トーリックオルビフォールド（すなわち、一般に自明な安定化子）の場合、生成関数 $ F_{g,h}^{ ilde{X},( ilde{L},f)} $ は $ H^{*}_{\text{CR}}(\tilde{B}\boldsymbol{\mu}_{\frak{m}};\mathbb{C})^{\bigotimes h} \cong \mathbb{C}^{\frak{m}} $ に値をとり、開インバリアントの状態空間を一般化する。
• 開鏡対称定理が証明された：$ F_{0,1}^{\tilde{X},(\tilde{L},f)} $ は、ガンマ関数を含むBarnes型積分の逆ラプラス変換によって、鏡曲線のAbel-Jacobi写像と結ばれる。
• 生成関数の $ X $ における展開の係数が、$ \Gamma(u) $ と $ \Gamma(fu + \sum r_a l_a) $ の留数と一致することが示され、生成関数が $ h^+ + h^- $ に分解されることを証明する。ここで $ h^+ $ は分数乗数の項を捉え、$ h^- $ は整数乗数の項を捉える。
• 実数 $ r_a $ 全体にわたる解析接続により、結果が一般化され、係数の公式が $ r_1, \dots, r_k $ の有理関数として普遍的に成り立つことが示された。