[論文レビュー] Open-closed string operations associated to disc cobordisms

Hirotaka Tamanoi|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2008

Geometric and Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、円板型のコボルディズムに関連する開-閉ストリング作用を調査し、それらが半ペア・オブ・パンツ分解に依存しないことを証明するとともに、複数の入射ストリングが一点で同時に相互作用する形で計算可能であることを示している。複数の出射ストリングが存在する場合、これらの作用は、特定の閉じた向き付け可能な部分多様体上での定数ストリングのホモロジー類に値をとることを示しており、それらは正確に同定されている。

ABSTRACT

Abstract. Most of the open-closed (degree zero) string operations are known to vanish, and we described those string operations which can be nontrivial in our previous paper. In this paper, we consider open-closed string operations associated to open-closed cobordisms homeomorphic to discs, which include the string operation for an interaction of two open strings at their internal points. We show not only that the above string operations are independent of their half-pair-of-pants decompositions but also that these string operations can be computed by simultaneous interaction of incoming open strings at a single point. This allows us to show that if a disc cobordism has more than one outgoing open strings, then these string operations take values in homology classes of spaces of constant open strings lying on certain closed oriented submanifolds. We will precisely determine these submanifolds. We will also discuss a role played by fundamental homology classes of constant paths in open string topology.

研究の動機と目的

• コボルディズムが円板にホメオモーティックである場合の、開-閉ストリング作用を解析すること。特に、内部点でストリングが相互作用する場合を対象とする。
• 複数の出射ストリングが存在する場合に、これらのストリング作用が非自明となる条件を特定すること。
• これらの作用が非消滅する場合に、定数ストリングのホモロジー類が存在する特定の閉じた向き付け可能な部分多様体を同定すること。
• 定数パスの基本的ホモロジー類が開ストリングトポロジーにおける役割を明確にすること。
• これらの作用が半ペア・オブ・パンツ分解に対して不変であることを確立し、計算の一貫性を保証すること。

提案手法

• 開-閉ストリング作用の幾何的枠組みとして円板コボルディズムを用い、その位相的構造に焦点を当てる。
• ストリング作用が半ペア・オブ・パンツ分解に依存しないことを利用し、それらの計算を単純化・統一する。
• 複数の入射ストリングが一点で同時に相互作用するモデルを導入し、逐次的分解を置き換える。
• 部分多様体上での定数ストリングの空間のホモロジー類の観点から、ストリング作用の像を分析する。
• 基本的ホモロジー類を用いて、作用の代数的構造を理解する。
• 複数の出射ストリングが存在する場合に、作用の像を支える閉じた向き付け可能な部分多様体を正確に特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円板コボルディズムに関連する開-閉ストリング作用が非自明となる条件は何か？
• RQ2 複数の入射ストリングが一点で同時に相互作用する場合、それらが得られるストリング作用に与える影響は何か？
• RQ3 定数ストリングのホモロジー類を支える具体的な閉じた向き付け可能な部分多様体は何か？
• RQ4 これらのストリング作用が半ペア・オブ・パンツ分解に依存しない程度はどの程度か？
• RQ5 定数パスの基本的ホモロジー類は、開ストリングトポロジー作用の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• 円板コボルディズムに関連する開-閉ストリング作用は、半ペア・オブ・パンツ分解に依存せず、計算の一貫性が保証される。
• これらの作用は、すべての入射ストリングが一点で同時に相互作用するモデルを用いて計算可能である。
• 円板コボルディズムに1つより多くの出射ストリングが存在する場合、作用は特定の閉じた向き付け可能な部分多様体上での定数ストリングのホモロジー類に値をとる。
• 本稿では、複数の出射ストリングが存在する場合に、これらの作用のターゲットとなる部分多様体を正確に同定している。
• 定数パスの基本的ホモロジー類は、開ストリングトポロジーの代数的枠組みにおいて構造的役割を果たす。
• これらの作用は、これらの同定された部分多様体に制限された場合にのみ非自明であり、それらはコボルディズムの位相的性質とストリングの配置に依存して決定される。