[論文レビュー] Open Conjectures on Congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 54被引用数 79

ひとこと要約

本論文は、素数の高次冪を法とする二項係数の積の和を含む100個の未解決の超合同式に関する予想を提示している。これらの予想はモジュラー形式、超幾何級数、L関数の特別値と関連しており、Ramanujan型のπ級数や一般化されたカタラン数を含む多くの予想が含まれており、証明に対して現金報酬が提示されている。

ABSTRACT

We collect here various conjectures on congruences made by the author in a series of papers, some of which involve binary quadratic forms and other advanced theories. Part A consists of 100 unsolved conjectures of the author while conjectures in Part B have been recently confirmed. We hope that this material will interest number theorists and stimulate further research. Number theorists are welcome to work on those open conjectures; for some of them we offer prizes for the first correct proofs.

研究の動機と目的

• 素数の高次冪を法とする二項係数の和を含む100個の未解決の超合同式に関する予想を体系的にまとめ、提示すること。
• 超合同式、L関数の特別値、モジュラー形式の間の深い関係を調査すること。
• 超合同式とπ、ベルヌーイ数・オイラー数、調和和に関連する級数との関連を探索すること。
• 特に素数に関する複雑な算術的条件を含む予想に対して、最初の正しい証明を挙げた者に現金報酬を提供すること。
• 超幾何級数および一般化されたカタラン数を含む最近解かれた予想を記録し、確認すること。

提案手法

• 二項係数の積を含む形 $\sum_{k=0}^{p-1} a_k / m^k \mod p^a $ の予想を定式化すること。
• p進付値およびp進ガンマ関数を用いて、$ p^2 $、$ p^3 $、さらにはそれ以上の冪を法とする合同式を分析すること。
• ガウス和およびヤコビ和、超幾何級数、モジュラー形式の恒等式を応用し、和の構造的制約を導出すること。
• 母関数と係数抽出 $ [x^n]P(x) $ を用いて、数列の算術的性質を研究すること。
• ベルヌーイ数・オイラー数、調和数、ルーカス数列に関する既知の結果を活用し、予想の導出と検証を支援すること。
• 高度な組合せ恒等式と記号計算を用いて、一部の予想を確認し、独立した研究者（例：Guillera, Sun, Hessami Pilehrood）による検証を経ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p \equiv 1 \mod 7 $ かつ $ p = x^2 + 7y^2 $ のとき、$ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 \mod p^2 $ の正確な $ p^2 $-合同式は何か？
• RQ2 $ p = x^2 + 7y^2 $ のとき、和 $ \sum_{k=0}^{p-1} k \binom{2k}{k}^3 \mod p $ は $ x $ と $ y $ の関数として閉形式で表せるか？
• RQ3 恒等式 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(11k-3)64^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = 8\pi^2 $ は超合同式技法を用いて証明可能か？
• RQ4 どの整数 $ n > 1 $ に対して、合同式 $ \sum_{k=0}^{n-1} (21k+8)\binom{2k}{k}^3 \equiv 8n \mod n^4 $ が素数性を示すか？
• RQ5 すべての素数 $ p > 3 $ に対して、合同式 $ \sum_{k=0}^{(p-1)/2} (205k^2 + 160k + 32)(-1)^k \binom{2k}{k}^5 \equiv 32p^2 + \frac{896}{3}p^5 B_{p-3} \mod p^6 $ は成り立つか？

主な発見

• $ (\frac{p}{7}) = -1 $ の場合、$ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 \mod p^2 $ に関する予想A1は確認されたが、$ (\frac{p}{7}) = 1 $ の場合は未解決であり、証明には70ドルの報奨金が提示されている。
• $ p = x^2 + 7y^2 $ のとき、和 $ \sum_{k=0}^{p-1} k \binom{2k}{k}^3 \mod p $ が $ \frac{32}{3}y^2 \mod p $ に等しいと予想されたが、これはアリとミシュウトカによる推測に基づく。
• 予想B15は確認された： $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(11k-3)64^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = 8\pi^2 $ であり、これは超幾何級数と $ \pi^2 $ を結びつける。
• 予想B16は確認された： $ p = x^2 + 2y^2 $ のとき、和 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{4k}{2k}\binom{2k}{k}}{128^k} \equiv (-1)^{\lfloor(p+5)/8\rfloor}(2x - p/(2x)) \mod p^2 $ が成り立つ。
• 予想B18は確認された： $ p > 5 $ のとき、$ \sum_{k=0}^{p-1} (205k^2 + 160k + 32)(-1)^k \binom{2k}{k}^5 \equiv 32p^2 + 64p^3 H_{p-1} \mod p^7 $ が成り立つ。
• 予想B19(i)は確認された： $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(15k-4)(-27)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{k}{3})}{k^2} $ であり、これは超幾何級数とディリクレ指標和を結びつける。