[論文レビュー] Open Markov Processes and Reaction Networks

Blake S. Pollard|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Gene Regulatory Network Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、開いたマーカフ過程および反応ネットワークの圏的枠組みを構築し、非平衡定常状態が二次的散逸関数を最小化することを示した。これはプリゴーギンの最小エントロピー生成則に密接に関連している。また、境界確率および境界フラウの線形関係へ写像するブラックボックス化ファンクターを導入し、圏論と勾配流れ構造を用いて複雑な系の構成的解析を可能にした。

ABSTRACT

We define the concept of an `open' Markov process, a continuous-time Markov chain equipped with specified boundary states through which probability can flow in and out of the system. External couplings which fix the probabilities of boundary states induce non-equilibrium steady states characterized by non-zero probability currents flowing through the system. We show that these non-equilibrium steady states minimize a quadratic form which we call `dissipation.' This is closely related to Prigogine's principle of minimum entropy production. We bound the rate of change of the entropy of a driven non-equilibrium steady state relative to the underlying equilibrium state in terms of the flow of probability through the boundary of the process. We then consider open Markov processes as morphisms in a symmetric monoidal category by splitting up their boundary states into certain sets of `inputs' and `outputs.' Composition corresponds to gluing the outputs of one such open Markov process onto the inputs of another so that the probability flowing out of the first process is equal to the probability flowing into the second. We construct a `black-box' functor characterizing the behavior of an open Markov process in terms of the space of possible steady state probabilities and probability currents along the boundary. The fact that this is a functor means that the behavior of a composite open Markov process can be computed by composing the behaviors of the open Markov processes from which it is composed. We prove a similar black-boxing theorem for reaction networks whose dynamics are given by the non-linear rate equation. Along the way we describe a more general category of open dynamical systems where composition corresponds to gluing together open dynamical systems.

研究の動機と目的

• 圏論を用いて開いたマーカフ過程の構成的枠組みを確立し、非平衡系のモジュラー解析を可能にする。
• 開いたマーカフ過程における非平衡定常状態が、二次的散逸関数を最小化することを示し、プリゴーギンの最小エントロピー生成則と関連付ける。
• 開いたマーカフ過程から境界確率および電流の線形関係へ写像するブラックボックス化ファンクターを構成し、構成性を保つ。
• 非線形速度方程式を有する動的系および反応ネットワークへと枠組みを拡張し、定常状態の振る舞いが半代数的関係で記述できることを示すことで、構成的アプローチを一般化する。
• 複雑にバランスとれた反応ネットワークにおいても、類似の変分原理が成り立つ可能性を検討し、自由エネルギーと勾配流れ構造を結びつける。

提案手法

• 確率が流入・流出する境界状態を有する連続時間マーカフ連鎖として、開いたマーカフ過程を定義する。
• マスタ方程式を用いて時間発展をモデル化し、詳細釣り合いの均衡状態が詳細釣り合い条件を満たすことを仮定する。
• 外部境界条件の下で非平衡定常状態が二次形式として定義される「散逸」を最小化することを導入する。
• 出力と入力を接続する合成と、直積による並列合成に対応する、対称モノイダル圏としての開いたマーカフ過程の圏を構築する。
• 開いたマーカフ過程から線形関係の圏（LinRel）へのブラックボックス化ファンクターを定義し、各系を境界挙動（確率および電流）の部分空間へ写像する。
• 装飾付きコスパンとファンクター的合成を活用し、非線形速度方程式を有する開いた力学系および反応ネットワークへと枠組みを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開いたマーカフ過程は、その力学的挙動を保つような方法でどのように合成可能であり、その背後にある圏的構造は何か？
• RQ2 開いたマーカフ過程における非平衡定常状態を支配する変分原理は何か？ そして、エントロピー生成と散逸とはどのように関係しているか？
• RQ3 開いた反応ネットワークの挙動は、体系的な構成的ブラックボックス化ファンクターによって記述可能か？ また、これは定常状態の濃度およびフラウとどのように関連するか？
• RQ4 平衡状態付近の非平衡マーカフ過程において、相対エントロピー、自由エネルギー、および散逸の関係は何か？
• RQ5 複雑にバランスとれた反忺ネットワークに対して、詳細釣り合いマーカフ過程のそれと類似した変分原理を支持する自然な圏的枠組みは存在するか？

主な発見

• 開いたマーカフ過程における非平衡定常状態は、平衡状態に近い状態ではエントロピー生成率を近似する二次的散逸関数を最小化する。
• ブラックボックス化ファンクターは、各開いたマーカフ過程を境界確率および境界電流の線形部分空間へ写像し、合成系の挙動がその部分の合成に一致することを保証する。
• 詳細釣り合いのマーカフ過程では、その定常状態挙動を関手 K を介して電気回路へ写像可能であり、このような系のブラックボックス化は LinRel 内の線形関係をもたらす。
• 相対エントロピーはマーカフ過程のリャプノフ関数として機能し、時間とともに減少し、平衡状態に近い領域では散逸を近似する。
• 開いたマスタ方程式は、平衡分布を含む計量を用いて定義される勾配を有する散逸関数に関する勾配流れとして表現可能である。
• 非線形速度方程式を有する開いた反応ネットワークのための一般的な枠組みが、半代数的関係への関手を介して確立され、線形系に限らない構成的アプローチが拡張された。