[論文レビュー] Open $r$-spin theory II: The analogue of Witten's conjecture for $r$-spin disks

Alexandr Buryak, Emily Clader+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界を持つリーマン面のモジュライ空間における開 $r$-スピン交差数を定義することにより、 genus zero における開 $r$-スピン理論を確立する。これらの数の母関数が、$r$ 番目の Gelfand–Dickey 統合可能階層の波動関数と関係していることを証明し、ウィッテンの $r$-スピン予想の開版を提供するとともに、開 $r$-スピン理論と閉 $r$-スピン理論の間の驚くべき関係を明らかにする。

ABSTRACT

We conclude the construction of $r$-spin theory in genus zero for Riemann surfaces with boundary. In particular, we define open $r$-spin intersection numbers, and we prove that their generating function is closely related to the wave function of the $r$th Gelfand-Dickey integrable hierarchy. This provides an analogue of Witten's $r$-spin conjecture in the open setting and a first step toward the construction of an open version of Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory. As an unexpected consequence, we establish a mysterious relationship between open $r$-spin theory and an extension of Witten's closed theory.

研究の動機と目的

• 境界付きリーマン面に対する genus zero における $r$-スピン理論の構成を完成させること。
• 閉 $r$-スピン不変量の一般化として、開 $r$-スピン交差数を定義すること。
• 統合可能系と関係する開 $r$-スピン不変量の母関数を確立すること。
• ウィッテンの $r$-スピン予想の最初の開版を提供すること。
• 開 $r$-スピン理論と閉 $r$-スピン理論の拡張との間の不思議な関係を解明すること。

提案手法

• 著者らは、境界と内部のマークド点をもつグレーディング付き $r$-スピンディスクのモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{0,k,\vec{a}}$ を定義する。
• このモジュライ空間上に、開ウィッテンバンドル $\mathcal{W}$ と余接線バンドル $\mathbb{L}_1,\ldots,\mathbb{L}_l$ を構成する。
• 開 $r$-スピン交差数は、$\psi$-類を仮想基本クラス $c_W$ に対して統合することにより定義される。
• 母関数 $F^{\frac{1}{r},o}$ は、内部および境界のマークド点を追跡する変数 $t^{a}_d$ と $s$ における形式的べき級数として構成される。
• 鍵となる技術的道具は、角を持つオービボンドル上での一貫したマルチセクションと重み付きゼロ点数を用いて仮想サイクルを定義することである。
• 波動関数を介して $r$ 番目の Gelfand–Dickey 階層との関係が確立され、$\exp(F^{\frac{1}{r},o})$ が階層の波動関数と関係していることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き genus zero リーマン面に対する開 $r$-スピン交差数の正しい定義は何か？
• RQ2 開 $r$-スピン不変量の母関数は統合可能系とどのように関係するか？
• RQ3 ウィッテンの $r$-スピン予想の自然な開版は存在するか？
• RQ4 境界付きモジュライ空間上の仮想サイクルを用いた開 $r$-スピン理論は一貫して構成可能か？
• RQ5 開 $r$-スピン理論と閉 $r$-スピン理論の拡張との間の予期せぬ関係は何か？

主な発見

• 開 $r$-スピン交差数の母関数が、$r$ 番目の Gelfand–Dickey 統合可能階層の波動関数と密接に関係していることが示された。
• 本研究は、ウィッテンの $r$-スピン予想の最初の開版を提供し、閉理論を境界付き曲面へと拡張した。
• 開 $r$-スピン理論と閉 $r$-スピン理論の拡張との間には、驚くべき関係が存在することが発見され、より深い幾何的関係性を示唆している。
• 一貫したマルチセクションと角を持つオービボンドル上での重み付きゼロ点数を用いることで、開 $r$-スピン交差数は適切に定義された。
• 仮想基本クラス $c_W$ は、普遍 $r$-スピンバンドルの第一の直接像の双対の最高チエーン類として定義される。
• 本結果は、$r=2$ の開 KdV 場合を一般化し、より高い $r$ へと拡張し、開理論と統合可能系をより広い枠組みで統一した。