[論文レビュー] Open string with a background B-field as the first order mechanics and noncommutativity

Alexei A. Deriglazov, C. Neves+1 more|ArXiv.org|Oct 19, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、定常B場を伴うオープンスティングを、フーリエモードを動的変数とする一次元力学系として定式化し、近似を一切用いずにディラックの制約付きハミルトニアン量子化を直接適用可能にする。主な結果として、ゼロモードの非可換性は混合境界条件から自然に生じる本質的性質であり、正準変換により境界の非可換性を除去可能であることが示され、非可換と可換なヤン・ミルズ理論のセイバーグ＝ウイッテン双対性を裏付ける。

ABSTRACT

To study noncommutativity properties of the open string with constant B-field we construct a mechanical action which reproduces classical dynamics of the string sector under consideration. It allows one to apply the Dirac quantization procedure for constrained systems in a direct and unambiguous way. The mechanical action turns out to be the first order system without taking the strong field limit $B\longrightarrow\infty$. In particular, it is true for zero mode of the string coordinate which means that the noncommutativity is intrinsic property of this mechanical system. We describe the arbitrariness in the relation existent between the mechanical and the string variables and show that noncommutativity of the string variables on the boundary can be removed. It is in correspondence with the result of Seiberg and Witten on relation among noncommutative and ordinary Yang-Mills theories.

研究の動機と目的

• B場を伴うオープンスティングのハミルトニアン形式を、フーリエモードから導かれた力学変数を用いて一貫して定式化すること。
• 修正なしに標準的なディラックの制約付き系の量子化手順を適用し、先行研究における曖昧性を回避すること。
• 特にDブレーン境界におけるスティング座標の非可換性の起源を明確にすること。
• 非可換性がDブレーン上では適切な正準変換により除去可能であることを示し、セイバーグ＝ウイッテン同等性と整合すること。
• 力学変数とスティング座標との間の体系的枠組みを構築し、完全な運動および制約を保持すること。

提案手法

• スティング座標 $ x^i(\tau, \tau) $ を、ゼロモード $ c_0^i $ を含む力学変数 $ c_n^i(\tau) $ にフーリエ分解し、場の理論を力学系に再定式化する。
• 元のスティング作用 (1) から $ c_n^i $ の運動方程式を導出し、混合境界条件に起因する一次元時間発展を示す。
• 導出された運動を再現する力学的作用を構築し、制約付き系にディラック法を直接適用可能にする。
• 力学系にディラック手順を適用し、第一種制約を同定し、ディラック括弧を計算することで、曖昧さのない量子化を保証する。
• 結果を元のスティング座標の言語に再表現し、ハミルトニアン形式を回復し、非可換括弧を計算する。
• 位相空間構造（括弧とハミルトニアンの選択）の自由度を活用し、適切な正準変換によりDブレーン上の非可換性を除去可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 B場を伴うオープンスティングは、恣意的な修正なしに標準的ディラック制約を用いて一貫して量子化可能か？
• RQ2 非可換性はなぜスティング座標に現れるのか、特にDブレーン境界においてはなぜ生じるのか。これは本質的性質か、あるいは除去可能か？
• RQ3 ゼロモード $ c_0^i $ は非可換性を生成する役割を果たすが、なぜ時間微分の一次式として現れるのか？
• RQ4 スティング座標の非可換性はどの程度正準変換により除去可能か。これはセイバーグ＝ウイッテン双対性とどのように関係するか？
• RQ5 位相空間構造（括弧とハミルトニアン）の選択が、系における非可換性の物理的解釈にどのように影響するか？

主な発見

• 混合境界条件のため、強場近似 $ B \to \infty $ がなくても、B場を伴うオープンスティングから導かれる力学系は本質的に時間微分の一次式である。
• ゼロモード座標 $ c_0^i $ は互いに正準共役であり、本質的非可換性 $ \{c_0^i, c_0^j\}_D = -E^{ij} \neq 0 $ を生じる。これは正則化の結果ではない。
• スティング座標は体内および境界で非可換性を示し、境界での非可換性は $ \{x^i(\tau,0), x^j(\tau,0)\}_D = -\left(1 + \frac{1}{2\pi\alpha'}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 f_n}\right)(B^{-1})^{ij} $ で与えられる。
• 適切な行列 $ E $, $ A $ と $ f_n = \frac{\pi^2}{3(2\pi\alpha')^3} $ を選ぶことで、Dブレーン上の非可換性を完全に除去でき、可換なDブレーン平面が得られる。
• 得られたハミルトニアン形式はセイバーグ＝ウイッテンの結果と一致する：$ \{x^i, x^j\}_D = -(2\pi\alpha')^2(1 - 2i\pi\alpha' B)^{-1} B (1 + 2i\pi\alpha' B)^{-1} $ であり、可換ヤン・ミルズ理論との双対性が確認される。
• 系の位相空間構造は、正準変換による複数の同等な定式化を許容しており、非可換性が一意的ではなく、可換記述と物理的に同等であることが示される。