[論文レビュー] Open systems dynamics: Simulating master equations in the computer

Carlos Navarrete–Benlloch|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Quantum Information and Cryptography被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、MATLABを用いたオープン量子系の数値的シミュレーションのための体系的で実装志向の高いガイドを提示する。Liouvillian超作用素のスーパースペース形式による効率的コーディングに重点を置き、三準位のカスケード系と二つの光学モードが結合した系を用いて、正確な定常状態解を得るとともに、対数的負性を用いたエンタングルメントの定量的評価を実施した。結果として、特にカスケード系とキャビティモード間で弱いが非ゼロのエンタングルメントが存在することが示された。

ABSTRACT

Master equations are probably the most fundamental equations for anyone working in quantum optics in the presence of dissipation. In this context it is then incredibly useful to have efficient ways of coding and simulating such equations in the computer, and in this notes I try to introduce in a comprehensive way how do I do so, focusing on Matlab, but making it general enough so that it can be directly translated to any other language or software of choice. I inherited most of my methods from Juan José García-Ripoll (whose numerical abilities I cannot praise enough), changing them here and there to accommodate them to the way my (fairly limited) numerical brain works, and to connect them as much as possible to how I understand the theory behind them. At present, the notes focus on how to code master equations and find their steady state, but I hope soon I will be able to update them with time evolution methods, including how to deal with time-dependent master equations. During the last 4 years I've tested these methods in various different contexts, including circuit quantum electrodynamics, the laser problem, optical parametric oscillators, and optomechanical systems. Comments and (constructive) criticism are greatly welcome, and will be properly credited and acknowledged.

研究の動機と目的

• コンピュータシミュレーションを用いて、オープン量子系におけるマスター方程式を数値的に解くための実用的で一般化可能なフレームワークを提供すること。
• スーパースペース形式を活用して、MATLABにおけるLiouvillian超作用素の実装を簡素化し、効率的な行列構築を実現すること。
• 複数のヒルベルト空間成分を有する複雑な量子系に対しても、正確な定常状態密度行列の計算を可能にすること。
• 合成量子系のさまざまな二部分割に対して、エンタングルメント測度（特に対数的負性）の評価を実証すること。
• 回路QEDやオプトメカニカル構成など、多様な量子光学系に適用可能な再現可能で拡張可能な計算パイプラインを提供すること。

提案手法

• 密度行列を列スタッキング（ベクトル化）によりベクトルとして表現し、マスター方程式を線形常微分方程式系に変換する：$ d\vec{\rho}/dt = \mathbb{L}\vec{\rho} $。
• スーパースペース形式を用いてLiouvillian行列$ \mathbb{L} $を構築し、演算子インデックスを単一の行列表現にマッピングする。
• マスター方程式を$ \frac{d\hat{\rho}}{dt} = -i[\hat{H},\hat{\rho}] + \Gamma(2\hat{J}\hat{\rho}\hat{J}^\dagger - \hat{J}^\dagger\hat{J}\hat{\rho} - \hat{\rho}\hat{J}^\dagger\hat{J}) $の形で実装し、$ \hat{H} $および$ \hat{J} $を入力演算子として与える。
• MATLABの組み込み関数（`permute`、`reshape`、`eig`）を用いてテンソル構造の取り扱い、部分的転置、および固有値解析によるエンタングルメント検出を実施する。
• 部分的転置密度行列の固有値を用いて対数的負性を計算する：$ E_{\text{LN}} = \log[1 + \sum_n (|\tilde{\lambda}_n| - \tilde{\lambda}_n)] $、これによりエンタングルメントを定量的に評価する。
• 適切な部分空間における単位演算子との行列乗算により、部分系をトレースアウトし、二部エンタングルメント解析用の縮約密度行列を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のオープン量子系に対して、MATLABのような汎用プログラミング言語でLiouvillian超作用素を効率的かつ体系的にコーディングする方法は何か？
• RQ2 スーパースペース形式を用いて、密度行列の表現およびその時間発展をベクトル化形式で効果的に操作する最良の方法は何か？
• RQ3 複数のヒルベルト空間成分を有する合成量子系に対して、マスター方程式の定常状態解を正確に計算するにはどのような手法が有効か？
• RQ4 三準位のカスケード系を二つの光学モードに結合させた場合、どの程度のエンタングルメントが誘発され、それはどのように異なる二部分割に分配されるか？
• RQ5 混合状態・多体量子系において、対数的負性のようなエンタングルメント測度を信頼性高く計算するための数値的手法は何か？

主な発見

• スーパースペース形式により、MATLABにおけるLiouvillian行列の直接的で読みやすく、かつ効率的な実装が可能となり、コードの複雑さが最小限に抑えられた。
• 強力な駆動下でも、キャビティモードの定常状態の占有数は元の値（$ |\alpha|^2 = 400 $、$ |\beta|^2 = 25 $）に近いまま維持され、弱い結合効果が示された。
• 対数的負性の計算結果は以下の通りであった：$ 0.00259 - 1.06 \times 10^{-16}i $（系＋キャビティ）、$ 2.03 \times 10^{-7} - 9.71 \times 10^{-17}i $（キャビティのみ）、$ 0.00180 - 1.28 \times 10^{-16}i $（系＋aモード）、$ 9.20 \times 10^{-5} - 1.50 \times 10^{-17}i $（系＋bモード）。
• 最大のエンタングルメントは$ \Xi $系とキャビティモード全体の間で観測されたが、二つのキャビティモード間のエンタングルメントは無視できるほど小さかった。
• $ \Xi $系とaモード間のエンタングルメントは、bモードとの間よりも顕著に強く、非対称な結合効果が示された。
• 計算された対数的負性のすべての値は微小ではあるがゼロでなく、すべての二部分割において弱いが非自明なエンタングルメントが存在することが確認された。