[論文レビュー] Opening Pandora's Box: Maximizing the $q$-entropy with Escort Averages

Aruna Bidollina, Thomas Oikonomou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、内部エネルギーの制約にエスカレート平均を用いて非加法的 $q$-エントロピーを最大化する際の熱力学的整合性を検討する。その結果、このような最大化は、第二および第三法則に違反するか、物理的温度を系の分割可能性に基づいて一貫して定義した場合、$q$-エントロピーが実質的にリーマンエントロピーに変換され、非加法的形式主義が不要になることが示された。

ABSTRACT

It is currently a widely used practice to write the constraints in terms of escort averages when the generalized entropies are employed in the maximization scheme. We show that the maximization of the nonadditive $q$-entropy with escort averages leads either to an overall lack of connection with thermodynamics or violation of the second and third laws of thermodynamics if one adopts the Clausius definition of the physical temperature. If an alternative definition of physical temperature is chosen by respecting the divisibility of the total system into independent subsystems, thermodynamic relations are restored albeit at the cost of transforming the nonadditive $q$-entropy into the Rényi entropy. These results are illustrated by studying the quantum mechanical free particle.

研究の動機と目的

• 内部エネルギーの制約にエスカレート平均を用いて非加法的 $q$-エントロピーを最大化する際の熱力学的整合性を評価すること。
• クラウジウスの関係式 ($\beta$) に基づく物理的温度と、系の分割可能性に基づく ($\beta_q$) の二つの定義が、物理的温度に与える影響を検討すること。
• エスカレート平均の使用が、統計力学と熱力学との関係を保持するかどうかを検証すること。
• 得られる平衡分布およびエントロピー式が、標準的な熱力学法則および分配定理と整合的であるかを調査すること。

提案手法

• ラグランジュ乗数を用いた $q$-エントロピー汎関数 $\Phi = S_q/k_B - \alpha(\sum_i p_i - 1) - \beta(U_q - \sum_i p_i^q \varepsilon_i / \sum_k p_k^q)$ の形式的最大化。
• 同じエスカレート制約に基づく二つの異なる平衡確率分布の導出により、分配関数およびエントロピーの異なる表現が得られることの分析。
• 物理的温度の定義の分析：クラウジウスの関係式から得られる $\beta$ と、系の分割可能性から得られる $\beta_q = \partial \ln Z_q / \partial U_q$ の比較。
• 分配定理の成立状況および $S_q = k_B \ln_q Z_q$ の関係の成立状況を確認することで、熱力学的整合性の評価。
• $q$-分配関数 $Z_q$ を用いたエントロピーの明示的計算により、$S_q = k_B \ln_q Z_q = k_B (Z_q^{1-q} - 1)/(1 - q)$ が得られることの確認。
• $\beta_q$ を物理的温度として採用した場合、得られるエントロピーが $S_q^{\text{phys}} = k_B \ln Z_q$ となり、これはリーマンエントロピーであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なクラウジウスの温度定義に従う場合、エスカレート平均を用いた内部エネルギー制約のもとで $q$-エントロピーを最大化しても、熱力学的整合性が保たれるか？
• RQ2 MaxEnt形式主義においてエスカレート平均を用いた内部エネルギーを使用した場合、第二および第三法則にどのような影響が生じるか？
• RQ3 ラグランジュ乗数 $\beta$ または系の分割可能性に基づく $\beta_q$ によって定義される物理的温度の選択が、熱力学的整合性に与える影響は何か？
• RQ4 物理的温度を一貫して定義した場合、エスカレート平均を用いた $q$-エントロピー形式主義がリーマンエントロピーから独立して維持可能か？
• RQ5 $q$-分配関数 $Z_q$ およびそれらから得られるエントロピー式の真の熱力学的解釈は何か？

主な発見

• 物理的温度を $\beta$ として定義した場合、エスカレート平均を用いた $q$-エントロピーの最大化は、第二および第三法則に違反する熱力学的整合性の欠如を引き起こす。
• エスカレート制約から導かれる平衡分布は $S_q = k_B \ln_q Z_q$ を与え、これは平均エネルギーとの直接的な関係を欠き、標準的な熱力学的関係 $S/k_B = \ln Z + \beta U$ を再現できない。
• 物理的温度を $\beta_q = \partial \ln Z_q / \partial U_q$ として定義することで熱力学的整合性を確保した場合、得られるエントロピーは $S_q^{\text{phys}} = k_B \ln Z_q$ となり、これはリーマンエントロピーである。
• $\beta_q$ を物理的温度として採用することは、$q$-エントロピーがもはや関連するエントロピーではないことを意味し、代わりにリーマンエントロピーが熱力学的挙動を支配する。
• エスカレート平均形式主義における正準分配関数は $e^{\beta U_1} \sum_i e^{-\beta \varepsilon_i}$ の形を取り、標準的な $\sum_i e^{-\beta \varepsilon_i}$ とは乖離しており、標準的統計力学の極限での崩壊を示している。
• $\beta_q$ における $S_q$ から $S_q^{\text{phys}} = k_B \ln Z_q$ への変換は、非加法的 $q$-エントロピーが実質的にリーマンエントロピーに置き換えられることを意味し、この文脈では $q$-エントロピー形式主義は冗長である。