[論文レビュー] Opening the Black Box Inside Grover's Algorithm

E. Miles Stoudenmire, Xavier Waintal|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 12

ひとこと要約

著者らは、Groverの検索を O(log N) の oracle 呼び出しで解く、QiGA と呼ばれる古典的な量子インスパイアアルゴリズムを構築し、3-SAT に対してそれを明示的に示し、Grover のアルゴリズムはエンタングルメントとノイズのスケーリングのため実用的な量子利得を提供しないと主張する。

ABSTRACT

Grover's algorithm is a primary algorithm offered as evidence that quantum computers can provide an advantage over classical computers. It involves an "oracle" specified for a given application whose structure is not part of the formal scaling of the quadratic speedup guaranteed by the algorithm. Grover's algorithm also requires exponentially many calls to the quantum oracle to succeed (about $\sqrt{2^n}$ calls for $n$ qubits), raising the question of its implementation on both noisy and error-corrected quantum computers. In this work, we construct a quantum-inspired algorithm, executable on a classical computer, that performs Grover's task in a linear number of calls to (simulations of) the oracle - an exponentially smaller number than Grover's algorithm - and demonstrate this algorithm explicitly for Boolean satisfiability problems. The complexity of our algorithm depends on the cost to simulate the oracle once which may or may not be exponential. Indeed, Grover's algorithm does not have an a priori quantum speedup as soon as one is given access to the "source code" of the oracle. Our findings illustrate this point explicitly as our algorithm exploits the structure of the quantum circuit used to program the quantum computer to speed up the search. There remain problems where Grover's algorithm would provide an asymptotic speedup if it could be run accurately for large enough sizes. Our quantum-inspired algorithm provides lower bounds, in terms of circuit complexity, for quantum hardware to beat classical approaches for these problems. These estimates, combined with the unfavorable scaling of the success probability of Grover's algorithm - which in the presence of noise decays as a double exponential in the number of qubits - makes a practical speedup unrealistic even under extremely optimistic assumptions of the evolution of both hardware quality and availability.

研究の動機と目的

• Grover のアルゴリズムが実践的に真の量子速度アップをもたらすかどうかという問いを喚起する。
• Grover のオラクルをはるかに少ない呼び出し回数で模倣する量子インスパイアされた古典アルゴリズムを開発する。
• 実際的な影響を示すために 3-SAT のインスタンスでこの手法を明示的に示す。
• Grover ベースの量子利得を制限するエンタングルメントとノイズの役割を分析する。）

提案手法

• Grover のオラクルをランク2のマトリックス積演算子（MPO）として表現する。
• オラクル後の状態をランク2のマトリックス積状態（MPS）として構成し、初期の重ね合わせを減算して解を抽出する。
• テンソルネットワーク技法とテンソルクロス補間を用いて、少数の振幅からオラクル後状態のMPSを構築する。
• 有利な条件下で QiGA において Grover の探索を完了するのにオラクルへの1回の呼び出しだけで足りることを示す。
• エンタングルメントと実行時間を測定するために、ランダムおよび準1次元の 3-SAT インスタンスでこの手法を実証する。

Figure 1: Schematic showing the main implications of our quantum-inspired Grover’s algorithm (QiGA) for the possibility of Grover’s algorithm offering a genuine quantum advantage.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典アルゴリズムが Grover のオラクルの内部構造を利用して標準の√N のオラクル呼び出し回数を上回ることができるか？
• RQ2 Grover の回路内のエンタングルメント障壁は量子利得の実用性にどのように影響するか？
• RQ3 3-SAT のような NP 完全問題に対してテンソルネットワークを用いてオラクル後の状態を効率的に構築することは可能か？
• RQ4 近期の量子ハードウェアで実装された場合の Grover のアルゴリズムに対するノイズの影響は何か？

主な発見

n	S	χ_max	時間
30	4	467	21 s
32	2	954	1.8 minutes
34	48	1162	3.2 minutes
36	16	1994	8.3 minutes
38	8	5867	1.6 hours
40	0	1402	4.2 minutes
40	28	2926	21 minutes
40	161	5690	1.65 hours
40	174	10374	6.5 hours

• QiGA は提示された枠組みの下で、古典計算機上で最大で O(log N) オラクル呼び出しで Grover のタスクを達成する。
• オラクル後の状態 |Psi_w angle は結合次元が 1+S（解が複数ある場合は S+1）の MPS であり、解を古典的に効率的に取り出すことを可能にする。
• Grover のアルゴリズム内のエンタングルメント障壁は反復の間で制限される（最大エントロピーは約 log 2）、しかしオラクル内のエンタングルメントは回路の深さと問題インスタンスに依存する。
• ノイズにより成功確率はゲート数の指数の指数として減衰し、近期の量子利得主張に挑戦する。
• 3-SAT インスタンスについて、著者らはオラクルを O_C MPOs で明示的に構築し、n=40 量子ビットまでのシミュレーションを行い、最終的な MPS ランクは数千に達した。
• 量子利得の存在はオラクルの回路構造と深さに依存することになるため、P vs NP の考察はオラクルにおけるエンタングルメントのスケーリングに関連する。

Figure 2: Entanglement entropy, in units of $\log(2)$ , of the quantum state during a simulation of Grover’s algorithm for $n=10$ qubits for the optimal number $r=25$ of iterations. Substeps between each complete iteration show the properties of the state after each layer of the quantum circuits des