[論文レビュー] Openly factorizable spaces and compact extensions of topological semigroups

Тарас Банах, Svetlana Dimitrova|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、擬コンパクトで、分離可能かつ開に因数分解可能な位相的半群 S の半群演算がその Stone-Čech 係数化 βS に連続的に拡張されることを確立している。主な貢献は、開に因数分解可能な空間のスペクトル的特徴付けであり、特に擬コンパクトかつ分離可能な場合、このような空間は βS に連続的な半群拡張を許容する。これは半群の係数化に関する長年の問題を解決するものである。

ABSTRACT

We prove that the semigroup operation of a topological semigroup $S$ extends to a continuous semigroup operation on its the Stone-Čech compactification $βS$ provided $S$ is a pseudocompact openly factorizable space, which means that each map $f:S o Y$ to a second countable space $Y$ can be written as the composition $f=g\circ p$ of an open map $p:X o Z$ onto a second countable space $Z$ and a map $g:Z o Y$. We present a spectral characterization of openly factorizable spaces and establish some properties of such spaces.

研究の動機と目的

• 位相的半群 S の半群演算がその Stone-Čech 係数化 βS に連続的に拡張されるための条件を特定すること。
• 第二可算空間 Y への連続写像 f:S→Y が開写像を通じて因数分解できるという性質を持つ空間のクラス、すなわち開に因数分解可能な空間を定義し、それらを研究すること。
• 第二可算空間の逆スペクトルを用いて、開に因数分解可能な空間のスペクトル的特徴付けを提供すること。
• 開に因数分解可能な空間と、Eberlein、Corson、Valdivia、Dugundji などの他のコンパクト空間クラスとの関係を調査すること。
• 開に因数分解可能なコンパクト空間の距離化可能性および構造的性質に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 第二可算空間 Y への連続写像 f:S→Y が、p:X→Z が開かつ Z が第二可算であるような写像 f=g∘p として因数分解できるという性質を用いて、開に因数分解可能な空間の概念を導入する。
• 第二可算空間の逆スペクトルを用いて、開に因数分解可能な空間のスペクトル的特徴付けを確立し、このような空間が第二可算空間の開連続な ω-完全な逆スペクトルの極限であることを示す。
• 擬コンパクトで分離可能かつ開に因数分解可能な位相的半群 S に対して、S 上の半群演算が βS に連続的に拡張されることを証明する。
• Hewitt 完備化 υX と Stone-Čech 係数化 βX を用いて、実際の完備性と擬コンパクト性の関係を関係づけ、υX=βX が成り立つのは X が擬コンパクトであるときであることを示す。
• Shchepin の開正規関手に関する結果を応用し、開に生成されるおよび開に因数分解可能なコンパクト空間のクラスがこのような関手によって保存されることを示す。
• コンパクト空間の階層を分析し、Dugundji、Eberlein、Corson、Valdivia コンパクト空間と比較して、開に因数分解可能な空間の性質を明らかにする。非距離的例として [0,ω₁] を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的半群 S の半群演算がその Stone-Čech 係数化 βS に連続的に拡張されるのはどのような条件下か？
• RQ2 すべての開に因数分解可能なコンパクト空間は、開に生成可能または Dugundji コンパクトであるか？
• RQ3 すべての開に因数分解可能な Eberlein または Corson コンパクト空間は、必然的に距離化可能か？
• RQ4 任意の順序数 λ に対して、順序空間 [0,λ] は開に因数分解可能か？
• RQ5 散乱的または線形順序コンパクト空間のクラスの中で、開に因数分解可能な空間はどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 擬コンパクトで分離可能かつ開に因数分解可能な位相的半群 S の半群演算は、その Stone-Čech 係数化 βS に連続的に拡張される。
• 開に因数分解可能な空間は、第二可算空間の開連続な ω-完全な逆スペクトルの極限として特徴づけられる。
• 順序空間 [0,ω₁] は開に因数分解可能だが、開に生成可能ではなく、Dugundji でもなく、κ-adic でもない。これは非距離的開に因数分解可能なコンパクト空間の例を提供する。
• すべての開に生成可能なコンパクト空間は開に因数分解可能であるが、逆は成り立たない。[0,ω₁] がその反例である。
• 開に因数分解可能な空間のクラスは、開に生成可能な空間のクラスを真に含み、Eberlein コンパクト空間との共通部分は距離化可能な場合に限る。
• 空間 [0,ω₂] は Valdivia コンパクトでないが、[0,ω₁] は Valdivia コンパクトである。これはすべての順序空間が Valdivia コンパクトであるとは限らないことを示している。