[論文レビュー] Operad profiles of Nijenhuis structures

Henrik Strohmayer|ArXiv.org|Sep 12, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、PBW基底法を用いて、Nijenhuis構造を記述する代数的構造とその二重Nijenhuis構造への拡張がKoszulであることを示し、形式的多様体上の形式的Nijenhuis構造およびそれらの相性のとれた構造が、これらの代数的構造の最小分解の表現とちょうど一対一に対応することを証明する。主な貢献は、ベクトル場値形式のgraded Lie代数におけるMaurer-Cartan要素を通じて、代数的構造の分解と微分幾何的構造との間の幾何的代数的対応を確立することにある。

ABSTRACT

Recently S. Merkulov established a new link between differential geometry and homological algebra by giving descriptions of several differential geometric structures in terms of algebraic operads and props. In particular he described Nijenhuis structures as corresponding to representations of the cobar construction on the Koszul dual of a certain quadratic operad. In this paper we prove, using the PBW-basis method of E. Hoffbeck, that the operad governing Nijenhuis structures is Koszul, thereby showing that Nijenhuis structures correspond to representations of the minimal resolution of this operad. We also construct an operad such that representations of its minimal resolution in a vector space V are in one-to-one correspondence with pairs of compatible Nijenhuis structures on the formal manifold associated to V.

研究の動機と目的

• Nijenhuis構造を記述する代数的構造 $Πij$ のKoszul性を、HoffbeckのPBW基底法を用いて証明すること。
• Nijenhuis構造の相性のとれた対を記述する代数的構造 $βiΠij$ を定義し、その性質を分析すること。
• あるgraded vector space $V$ における最小分解 $βiΠij_{\infty}$ の表現と、$V$ に付随する形式的多様体上の形式的二重Nijenhuis構造との間の一対一対応を確立すること。
• Frölicher-Nijenhuis括弧条件を満たす形式的冪級数解を含むように、代数的構造の記述を一般化すること。

提案手法

• HoffbeckのPBW基底法を適用し、単項式の整合的基底を構成することで、代数的構造 $Πij$ および $βiΠij$ のKoszul性を証明する。
• Koszul双対コオペラッドへのcobar構成を用いて、最小分解 $Πij_{\infty}$ および $βiΠij_{\infty}$ を得る。
• 全体の代数的構造分解の空間から、微分およびLie括弧を備えたdg Lie代数 ${\mathcal{L}}_{\mathcal{B}i\mathcal{N}ij}(V)$ を構成する。
• 表現のLie代数から、形式的冪級数 $\Gamma = \sum_k \Gamma_k \hslash^k$ への写像 $\Phi$ を定義する。ここで $\Gamma$ は $\Omega^{\bullet}_V \otimes \mathcal{T}_V$ に倣う。
• Maurer-Cartan方程式 $[\Gamma, \Gamma]_{{}_{\text{F-N}}} = 0$ が成り立つのは、$\Gamma$ が $\mathcal{B}i\mathcal{N}ij_{\infty}$ の表現に対応するときかつそのときに限ることを検証する。
• ベクトル場 $D$ による誘導される微分 $\delta_D$ を用いて、$\tilde{{\mathfrak{g}}}_V$ 上のdg Lie代数構造を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nijenhuis構造を記述する代数的構造 $\mathcal{N}ij$ はKoszulか？
• RQ2 Nijenhuis構造の相性のとれた対を記述する自然な代数的構造 $\mathcal{B}i\mathcal{N}ij$ を構成できるか？
• RQ3 最小分解 $\mathcal{B}i\mathcal{N}ij_{\infty}$ は形式的多様体上の形式的二重Nijenhuis構造を分類できるか？
• RQ4 $\mathcal{B}i\mathcal{N}ij_{\infty}$-表現の幾何的実現は、Frölicher-Nijenhuis括弧条件を満たす形式的冪級数として存在するか？
• RQ5 代数的構造の分解と幾何的構造との対応関係は、graded vector spaceへ一般化可能か？

主な発見

• Nijenhuis構造を記述する代数的構造 $\mathcal{N}ij$ はPBW基底法を用いてKoszulであることが証明され、Nijenhuis構造がその最小分解 $\mathcal{N}ij_{\infty}$ の表現とちょうど一致することが確認された。
• 相性のとれたNijenhuis構造を記述する代数的構造 $\mathcal{B}i\mathcal{N}ij$ についてもKoszulであることが示され、その最小分解 $\mathcal{B}i\mathcal{N}ij_{\infty}$ の構成が可能となった。
• $\mathbb{R}^n$ における $\mathcal{B}i\mathcal{N}ij_{\infty}$ の表現と、原点で消える $\mathbb{R}^n$ 上の形式的二重Nijenhuis構造との間の一対一対応が確立され、定理Bが証明された。
• 任意のgraded vector space $V$ に対して、$\mathcal{B}i\mathcal{N}ij_{\infty}$ の表現は、形式的冪級数 $\Gamma = \sum_k \Gamma_k \hslash^k$ に対応し、$\Gamma_k \in \Omega^{\geq k}_V \otimes \mathcal{T}_V$、$|\Gamma| = 1$、$[\Gamma, \Gamma]_{{}_{\text{F-N}}} = 0$、および $\Gamma|_0 = 0$ を満たす。これにより定理Cが証明された。
• 写像 $\Phi: \mathcal{L}_{\mathcal{B}i\mathcal{N}ij}(V) \to \tilde{{\mathfrak{g}}}_V$ はdg Lie代数の同型写像であり、代数的構造の分解の幾何的実現が確立された。