[論文レビュー] Operads and Phylogenetic Trees

John C. Baez, Nina Otter|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

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ひとこと要約

この論文は、時間や分岐長をエッジラベルとして用いる系統樹を操作として形式化するためのオペラッド $φ\mathrm{Phyl}$ を導入する。$φ\mathrm{Phyl}$ の $n$-アリティ操作の空間と $\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$ の間でホメオモルフィズムを証明し、系統生物学におけるマルコフモデルが $\mathrm{Phyl}$ 上のコールゲブラを生じることを示す。これにより、進化生物学と代数的位相幾何学が結びつけられる。

ABSTRACT

We construct an operad $\mathrm{Phyl}$ whose operations are the edge-labelled trees used in phylogenetics. This operad is the coproduct of $\mathrm{Com}$, the operad for commutative semigroups, and $[0,\infty)$, the operad with unary operations corresponding to nonnegative real numbers, where composition is addition. We show that there is a homeomorphism between the space of $n$-ary operations of $\mathrm{Phyl}$ and $\mathcal{T}_n imes [0,\infty)^{n+1}$, where $\mathcal{T}_n$ is the space of metric $n$-trees introduced by Billera, Holmes and Vogtmann. Furthermore, we show that the Markov models used to reconstruct phylogenetic trees from genome data give coalgebras of $\mathrm{Phyl}$. These always extend to coalgebras of the larger operad $\mathrm{Com} + [0,\infty]$, since Markov processes on finite sets converge to an equilibrium as time approaches infinity. We show that for any operad $O$, its coproduct with $[0,\infty]$ contains the operad $W(O)$ constucted by Boardman and Vogt. To prove these results, we explicitly describe the coproduct of operads in terms of labelled trees.

研究の動機と目的

• 系統樹にエッジ長を含めて代数的構造における操作として形式化すること。
• 系統生物学で用いられるエッジラベル付きツリーに対応する操作を持つオペラッド $\mathrm{Phyl}$ を構成すること。
• $\mathrm{Phyl}$ の $n$-アリティ操作の空間と $\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$ の間の位相的同値性を確立すること。ここで $\mathscr{T}_n$ はメトリック $n$-ツリーの空間である。
• DNAの進化をモデル化するマルコフ過程が $\mathrm{Phyl}$ 上のコールゲブラを生じることを示すこと。これにより確率的モデルとオペラッド的構造が結びつく。
• $\mathrm{Com}$ と $[0,\infty)$ のコプロダクトが任意のオペラッド $O$ に対してボードマン＝ヴォグトのオペラッド $W(O)$ を含むことの証明。

提案手法

• $\mathrm{Com}$（可換半群のため）と $[0,\infty)$（加法に関する非負実数）のコプロダクトとしてオペラッド $\mathrm{Phyl}$ を構成する。
• $\mathrm{Phyl}_n$（$n$-アリティ操作の集合）を、$1,\dots,n$ でラベル付けられた $n$ 個のリーフを持つ根付きツリーとし、エッジは $[0,\infty)$ にラベル付けされ、単一の頂点（unary vertex）がなく、内部エッジ長が正であるものとする。
• $\mathrm{Phyl}_n$ に、ツリーの同型類とエッジ長の連続的変化に基づく位相を導入し、内部エッジがゼロに収縮する退化も含む。
• 各ツリーをそのメトリックツリーと $n+1$ 個の外部エッジ長に写像する写像 $f: \mathrm{Phyl}_n \to \mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$ の全単射を確立する。
• $\mathscr{T}_n$ と $[0,\infty)^{n+1}$ の位相の基底を用いて、$f$ が連続的かつ開写像であることを示し、$f$ がホメオモルフィズムであることを証明する。
• 有限状態空間上のマルコフ過程が平衡に収束することを示し、そのコールゲブラ構造を $\mathrm{Com} + [0,\infty]$ に、さらに $\mathrm{Phyl}$ に拡張できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ長を含む系統樹を代数的構造における操作としてどのように形式化できるか？
• RQ2 $\mathrm{Phyl}$ の $n$-アリティ操作の空間の位相的構造は何か？
• RQ3 DNAの進化をモデル化する標準的なマルコフモデルは、$\mathrm{Phyl}$ 上のコールゲブラを生じるか？
• RQ4 オペラッドのコプロダクトは、ボードマン＝ヴォグトの構成 $W(O)$ とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathscr{T}_n$（メトリック $n$-ツリーの空間）は、$\mathrm{Phyl}$ の $n$-アリティ操作の空間の自然な成分として同定できるか？

主な発見

• $\mathrm{Phyl}$ の $n$-アリティ操作の空間は、$\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$ とホメオモルフィックである。ここで $\mathscr{T}_n$ はビラ・ホルムズ・ヴォグトマン空間（Billera-Holmes-Vogtmann space）として知られるメトリック $n$-ツリーの空間である。
• $\mathrm{Phyl}$ はコプロダクト $\mathrm{Com} + [0,\infty)$ と同型であり、エッジ長の加法によって合成が定義される。
• 有限状態空間上で定義されたDNAの進化をモデル化するマルコフ過程は、時間 $\to \infty$ で平衡に収束するため、$\mathrm{Phyl}$ 上のコールゲブラを生じる。
• $\mathrm{Com}$ と $[0,\infty)$ のコプロダクトは、任意のオペラッド $O$ に対してボードマン＝ヴォグトのオペラッド $W(O)$ を含み、既知の構成を一般化する。
• $\mathrm{Phyl}_n$ の位相は、ツリーの同型類とエッジ長の連続的変化（内部エッジがゼロに収縮する退化を含む）に対応する開集合によって生成される。