[論文レビュー] Operads, clones, and distributive laws

Pierre-Louis Curien|arXiv (Cornell University)|May 14, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、Cat 上のモノイドとそれらのプロファンクターへの拡張を用いて、非対称オペラッド、対称オペラッド、クローンを統一する。それらが拡張されたモノイドの (co)Kleisli 2カテゴリのモノイドとして生じることを示す。主な貢献は、プロファンクターと分配則を用いた圏論的枠組みであり、これによりオペラッド構造とその変種（コオペラッドやプロペラッドを含む）を体系的に捉えることができる。

ABSTRACT

We show how non-symmetric operads (or multicategories), symmetric operads, and clones, arise from three suitable monads on Cat, each extending to a (pseudo-)monad on the bicategory of categories and profunctors. We also explain how other previous categorical analyses of operads (via Day's tensor products, or via analytical functors) fit with the profunctor approach.

研究の動機と目的

• Cat 上のモノイドを用いて、非対称オペラッド、対称オペラッド、クローンを一様に圏論的に記述すること。
• これらのモノイドを2カテゴリのプロファンクターへ拡張し、オペラッド的構造の統一的取り扱いを可能にすること。
• 分配則が、プロファンクターの合成を通じて、操作、双操作、バイオペレーションの合成をどのように支配するかを示すこと。
• 既存の圏論的アプローチ（例えば、Day のテンソル積、解析的関手）を、プロファンクターに基づく枠組みと結びつけること。
• 分配則を用いた二重カテゴリ構造を通じて、コオペラッドとプロペラッドを含む理論の一般化を達成すること。

提案手法

• 非対称オペラッド、対称オペラッド、クローンに対応する Cat 上の3つのモノイドを定義する。
• 分配則を用いて、各モノイドをカテゴリとプロファンクターの2カテゴリ上の擬似モノイドに拡張する。
• 拡張されたモノイドの (co)Kleisli 2カテゴリにおけるモノイドとしてオペラッドを表現する。
• プロファンクターを用いて、固定されたアリティとコアリティを持つ操作の族をモデル化し、モノイドが入力の重複度を支配することを示す。
• プロファンクターとスパンの関係をグローテンディーク構成を用いて関連付けるが、プロファンクターのアプローチを優先する。
• コモノイド ? とモノイド ! の間の分配則を導入し、バイオペレーションの合成を可能にし、合成における接続性を置換のグラフを用いて形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称オペラッド、対称オペラッド、クローンを、Cat 上のモノイドを用いて一様に記述する方法は何か？
• RQ2 プロファンクターは、スパンを越えてオペラッドの圏論的取り扱いをどのように一般化するか？
• RQ3 モノイドとコモノイドの間の分配則は、プロペラッドにおけるバイオペレーションの合成をどのように可能にするか？
• RQ4 プロファンクターに拡張されたモノイドは、コオペラッドとプロペラッドの構造をどのように捉えているか？
• RQ5 プロファンクターのアプローチは、Day のテンソル積や解析的関手といった既存の圏論的枠組みをどのように統一するか？

主な発見

• 非対称オペラッド、対称オペラッド、クローンは、プロファンクターに拡張されたモノイドの (co)Kleisli 2カテゴリにおけるモノイドとして生じる。
• プロファンクターのアプローチは、スパンよりも、オペラッド的構造の変種をより洗練されかつ柔軟に捉えるフレームワークを提供する。
• ? と ! の間の分配則により、プロペラッドにおけるバイオペレーションの合成が可能となり、接続性の条件は置換のグラフを用いて形式化される。
• X = {σ} の場合、Vect 上の結果の構造は Vallette のプロペラッドの定義と同型であり、この枠組みが既存の定義と整合していることを確認する。
• この枠組みは、Day のテンソル積や解析的関手による既存の圏論的記述を、プロファンクターとモノイド拡張のパラダイムに統合することで一般化する。
• プロファンクターの使用により、操作と双操作の両方を体系的に取り扱うことができ、モノイドが入出力の重複度を支配し、分配則が合成を支配する。