[論文レビュー] Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces

Ezra Getzler, John D. S. Jones|ArXiv.org|Mar 8, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 392

ひとこと要約

この論文は、反復積分と作用素的ホモトピー代数を用いて、単連結多様体の二重ループ空間上の微分形式のモデルを構築する。反復積分写像が可換なコホープ代数の弱同値であることを確立し、特徴値が0の特性におけるn-代数のバー構成と作用素的解体技法を用いて、二重ループ空間のホモトピー論的に完全な代数的モデルを提供する。

ABSTRACT

This paper provides some background to the theory of operads, used in the first author's papers on 2d topological field theory (hep-th/921204, CMP 159 (1994), 265-285; hep-th/9305013). It is intended for specialists.

研究の動機と目的

• 単連結多様体の二重ループ空間上の微分形式の代数的モデルを開発すること。
• 作用素的形式的体系を用いて、チェンの反復積分理論をループ空間から二重ループ空間へ拡張すること。
• 微分形式のバー構成と二重ループ空間のド・ラーム複体の間のホモトピー論的同値を確立すること。
• 作用素がエンコードする代数的構造を通じて、2次元のトポロジカル量子場理論を理解するための枠組みを提供すること。
• 結合的かつ可換代数のバー構成をn ≥ 2のn-代数およびその双対コモノイド代数へ一般化すること。

提案手法

• 微分付き作用素を用いて、結合的、可換、リー、ポアソン代数などの代数的構造を形式化する。
• n-代数Aに対してバー構成$B_n A$を定義し、これは余自由なn-コモノイド代数構造を与える。
• Arnoldの形式の主値として、$S_k$-同変な電流写像$pv: e_n^*(k) \to \Omega^{\bullet}(C_k)^\vee$を構成する。
• 配置空間上の電流を用いた積分を通じて、$ \varrho: \Omega^\bullet(M)^{\otimes k} \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$を反復積分写像として定義する。
• 全反復積分写像$ \varrho: \Omega^\bullet(M) \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$が可換な微分付きdg代数の準同型であることを証明する。
• ホワイトヘッド型の定理を適用し、バー構成の$ \varrho$が弱同値であれば、$ \varrho$自身も弱同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復積分は、二重ループ空間$\Omega^2 M$上の微分形式のホモトピー論的に完全なモデルを提供できるか？
• RQ2 作用素的ホモトピー論は、結合的・可換代数のバー構成をn-代数へどのように一般化できるか？
• RQ3 ド・ラーム複体$\Omega^2 M$の正確な代数的構造は、n-代数およびその双対コモノイド代数としてどのように記述できるか？
• RQ4 微分形式から$\Omega^\bullet(\Omega^2 M)$への反復積分写像は、可換なコホープ代数の弱同値か？
• RQ5 作用素的解体の文脈において、バー構成のホモロジーは導来関手とどのように関係するか？

主な発見

• Mが単連結であるとき、反復積分写像$ \varrho: \Omega^\bullet(M) \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$は可換なコホープ代数の弱同値である。
• n-代数Aのバー構成$B_n A$はn-コモノイドであり、そのホモトピー圏における像は、非分解的関手の左導来関手である。
• n=2の場合、バー構成$B_2 A$は複体$\bigoplus_{k\geq 1} \Sigma^{-2k} H^\bullet(B_k; (\Sigma^2 A)^{\otimes k})$と同型であり、バーンド群のコホモロジーと関係する。
• B_n Aの微分は、A上の微分、コブランチェット$\delta_{ij}$、およびリー括弧$\{a_i, a_j\}$を含む項の和として明示的に与えられ、符号は順序付き交換性に従う。
• 写像$pv: e_2^*(k) \to \Omega^{\bullet}(C_k)^\vee$は$C_k^\varepsilon$上での積分の極限として構成され、$d^* \circ pv = \sum_{i<j} pv \circ \delta_{ij}$を満たす。
• バー構成$B_n$は左随伴$\Omega_n$を備え、随伴対は$n \geq 1$に対してホモトピー圏の同値を誘導する。これは、結合的・可換代数に対するクイレンの同値を一般化する。