[論文レビュー] Operads of decorated trees and their duals

Vsevolod Gubarev, P. S. Kolesnikov|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、装飾付き木のオペラッドを用いて前代数および後代数を一元的に定式化する代数的枠組みを導入し、既存のダインドリフ分離構成と同等であることを示している。Maninのブラック積のアプローチを任意のオペラッドに一般化し、特にRota–Baxter作用素とComTriasオペラッドの構造的相互作用を通じて、前代数および後代数の性質を導出・証明するより単純な代数的手法を提供する。

ABSTRACT

This is an extended version of a talk presented by the second author on the Third Mile High Conference on Nonassociative Mathematics (August 2013, Denver, CO). The purpose of this paper is twofold. First, we would like to review the technique developed in a series of papers for various classes of di-algebras and show how do the same ideas work for tri-algebras. Second, we present a general approach to the definition of pre- and post-algebras which turns out to be equivalent to the construction of dendriform splitting. However, our approach is more algebraic and thus provides simpler way to prove various properties of pre- and post-algebras in general.

研究の動機と目的

• 二項二次オペラッドを超えた前代数および後代数の構成を、一元的な代数的枠組みを用いて一般化すること。
• 装飾付き木に基づくオペラッド的アプローチが、(二および三枝代数を含む) 既存の構成と同一の代数的クラスを生成することを示し、証明をより単純化すること。
• ComTriasオペラッドとブラック積を通じて、前/後代数とRota–Baxter作用素との関係を確立すること。
• PBW型定理を前代数および後代数に拡張できないことを、反例を構成することで明確にすること。
• 前/後代数をより大きなオペラッド的族に埋め込む場合、二および三枝代数とは異なり、特別な恒等式が同じ方法で保存されないことを示すこと。

提案手法

• 平面的装飾付き木のオペラッドを用い、葉に二または三枝代数的構造をマークし、接ぎ合わせが装飾を保存するようにする。
• Maninのブラック積構成を適用し、前代数および後代数を $\text{pre-} \mathrm{Lie} \bullet \mathfrak{M}$ および $\text{post-} \mathrm{Lie} \bullet \mathfrak{M}$ として定義し、非二項的・非二次的オペラッドへ一般化する。
• 関係 $\mathrm{ComTrias} \otimes \mathfrak{M} = \mathrm{ComTrias} \circ \mathfrak{M}$ を利用して、$\mathfrak{M}$-代数を $\text{pre-}\mathfrak{M}$-代数へ自然に埋め込むことを可能にする。
• C = \mathrm{ComTrias} を用いたハダマール積 $C \boxtimes A$ を用い、$\mathfrak{N}$-代数から $\text{pre-}\mathfrak{N}$ および $\text{post-}\mathfrak{N}$-代数を構成する。
• 写像の下での特別な恒等式の包含関係を示すために、$S^{(\text{pre-}\omega)}\text{pre-}\mathfrak{N} \subseteq \text{pre-}S^{(\omega)}\mathfrak{N}$ を証明する。
• 微分作用素 $\partial$ を用いた反例を構成し、$(x\succ y + y\prec x)\succ z = 0$ が $\text{pre-}N_3$ の定義恒等式から導出できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前代数および後代数のダインドリフ分離構成は、二項二次オペラッドを超えて一般化可能か？
• RQ2 複雑な木の組み合わせ的操作を避ける純粋な代数的手法で、前代数および後代数を定義・性質を証明できるか？
• RQ3 前代数および後代数の特別な恒等式は、二および三枝代数のそれらとどのように比較できるか、特にPBW型定理の文脈で。
• RQ4 $\text{pre-}\mathfrak{N}$-代数を $\text{pre-}S^{(\omega)}\mathfrak{N}$ に埋め込む場合、$S^{(\omega)}\mathfrak{N}$ のすべての恒等式が保存されるか？
• RQ5 $\mathrm{ComTrias}$-装飾付き木の構造を用いて、標準的公理から導出できない新しい恒等式を前代数および後代数に構成できるか？

主な発見

• 装飾付き木のオペラッドは、既存のダインドリフ分離構成と同等であるが、前代数および後代数を一元的に定式化する枠組みを提供する。
• 代数的構造 $\text{pre-} \mathrm{Lie} \bullet \mathfrak{M}$ および $\text{post-} \mathrm{Lie} \bullet \mathfrak{M}$ を用いることで、複雑な組み合わせ論を避け、代数的性質の証明を簡略化する。
• $S^{(\text{pre-}\omega)}\text{pre-}\mathfrak{N} \subseteq \text{pre-}S^{(\omega)}\mathfrak{N}$ は成り立つが、逆包含は成立しない。これは、二および三枝代数とは根本的に異なる点を示している。
• 反例により、恒等式 $(x\succ y + y\prec x)\succ z = 0$ が $\text{pre-}N_3$ の定義恒等式から導出できないことが示され、PBW型定理が前代数に直接拡張されないことを証明する。
• 微分作用素 $\partial$ を用いて $\mathfrak{M}$ が $\partial^2 = 0$ を満たす可換結合的代数であると仮定した $\text{pre-}\mathfrak{M}$ を用いた $\text{pre-}N_3$ の構成は、標準的 $\text{pre-}N_3$ 公理から導かれない恒等式を生じる。
• 本稿は、$\mathrm{ComTrias} \otimes \mathfrak{M} = \mathrm{ComTrias} \circ \mathfrak{M}$ が成り立つことを確認し、$\mathfrak{M}$-代数を $\text{pre-}\mathfrak{M}$-代数へ自然に埋め込むことを可能にする。