[論文レビュー] Operational K-theory

Dave Anderson, Sam Payne|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、連接層のグロテンディークK₀理論の双対としての操作的K理論を導入し、操作的チョン理論と類似した性質を持つ幾何的に頑健な不変量として確立している。A¹ホモトピー不変性、チョンエンvelopeに関する降下、完全線形多様体における双対性といった主要な結果を証明しており、特に対数的ファン上の分(piecewise)指数関数によるトーリック多様体の等置不変操作的K理論の明示的同定がなされている。

ABSTRACT

We study the operational bivariant theory associated to the covariant theory of Grothendieck groups of coherent sheaves, and prove that it has many geometric properties analogous to those of operational Chow theory. This operational K-theory agrees with Grothendieck groups of vector bundles on smooth varieties, admits a natural map from the Grothendieck group of perfect complexes on general varieties, satisfies descent for Chow envelopes, and is A^1-homotopy invariant. Furthermore, we show that the operational K-theory of a complete linear variety is dual to the Grothendieck group of coherent sheaves. As an application, we show that the K-theory of perfect complexes on any complete toric threefold surjects onto this group. Finally, we identify the equivariant operational K-theory of an arbitrary toric variety with the ring of integral piecewise exponential functions on the associated fan.

研究の動機と目的

• 連接層のグロテンディークK₀理論の双対としての双対的bivariant操作的K理論を構築すること。
• 特異的またはQ-ファクターでない多様体において古典的K理論に限界があること、K₀とK^∘が一致しないこと、計算が困難になる問題を克服すること。
• A¹ホモトピー不変性、チョンエンvelopeに関する降下、完全線形多様体における双対性といった幾何的性質を確立すること。
• 一般化され強化された古典的リーマン・ロッホ定理を一般化する、計算可能で良好な性質を持つ理論を提供すること。

提案手法

• フォルトンとマクファーソンの一般的構成を用いて、共変的K₀理論に関連するbivariant理論として操作的K理論を構成する。
• 操作的K理論の要素を、ファイバー正方形に沿って添付されたK₀(Y') → K₀(X')の写像の族として定義し、適切な押し出し、平坦な引き戻し、ギジン写像と可換であることを要求する。
• f-完備複体が、[F] ↦ ∑(−1)^i [Tor_i^Y(P_•, F)] の公式により、このような写像を導くことを示す。
• 完全線形多様体の操作的K理論が、クロネッカー双対性を介してグロテンディーク群K₀(X)と双対的であることを証明する。
• 降下およびハイパーエンvelope技術を用いて、トーリック多様体の等置操作的K理論をそのファン上の整数値分(piecewise)指数関数の環と同定する。
• スペクトル系列および等置ハイパーエンvelopeを用いて単体的スキームのK理論を計算し、降下同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K₀と双対的であり、操作的チョン理論と類似した幾何的性質を持つbivariant操作的K理論を構成できるか？
• RQ2 操作的K理論は一般のスキームにおいてA¹ホモトピー不変性およびチョンエンvelopeに関する降下を満たすか？
• RQ3 完全線形多様体において、操作的K理論とK₀の間に双対性が成立するか？
• RQ4 トーリック多様体の等置操作的K理論は、そのファンからの組合せ的データを用いて明示的に記述できるか？
• RQ5 完全トーリック3次元多様体上の完備複体のK理論は、連接層のグロテンディーク群上へ全射であるか？

主な発見

• 操作的K理論はA¹ホモトピー不変であり、チョンエンvelopeに関する降下を満たしており、幾何的変換に対して良好に振る舞う。
• 滑らかな多様体では、操作的K理論はK^∘(X)、すなわちベクトル束のグロテンディーク群と一致する。
• 任意の完全線形多様体に対して、操作的K理論はK₀(X)と双対的であり、クロネッカー双対性を確立する。
• 任意の完全トーリック3次元多様体において、完備複体のK理論はK₀(X)上へ全射であり、重要な計算的問題を解決する。
• トーリック多様体の等置操作的K理論は、そのファン上の整数値分(piecewise)指数関数の環と同型である。
• 一般の多様体において、完備複体のグロテンディーク群からの自然な写像が操作的K理論に存在し、古典的K理論を拡張する。