[論文レビュー] Operational Theories of Physics as Categories

Sean Tull|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2016

Advanced Algebra and Logic参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、物理学における操作的確率的理論をモデル化するための圏論的枠組みとして、操作的圏を導入する。これは、Chiribella らの因果的操作的確率的理論を圏論的に一般化したものである。操作的圏（全関数的および部分関数的形）と操作的理論 with control (OTC) の間の対応関係を確立し、任意のOTCが部分圏 Par(B) における余積を用いて直和を備えたものに完成可能であることを示している。さらに、圏論的論理の中心的役割を果たす効果的圏（effectuses）を、これらの理論の部分クラスとして特定している。

ABSTRACT

We introduce a new approach to the study of operational theories of physics using category theory. We define a generalisation of the (causal) operational-probabilistic theories of Chiribella et al. and establish their correspondence with our new notion of an operational category. Our work is based on effectus theory, a recently developed area of categorical logic, to which we give an operational interpretation, demonstrating its relevance to the modelling of general probabilistic theories.

研究の動機と目的

• 操作的確率的理論を一般化する、物理学の操作的理論のための圏論的枠組みを構築すること。
• 操作的圏を、一般確率的理論をモデル化するのに適した、効果的圏理論の弱体化形として導入すること。
• 操作的圏（全関数的および部分関数的形）と操作的理論 with control (OTC) の間の対応関係を確立すること。
• 任意のOTCが、部分圏における余積を用いて直和を備えたものに完成可能であることを示すこと。
• 効果的圏に正確に対応するOTCの部分クラスを特定し、圏論的論理と操作的物理学を結びつけること。

提案手法

• 部分テストの圏 Par(B) における余積を用いて、操作的理論における古典的データと粗粒度化をモデル化する。
• テスト、結果、確率の追加構造を持つ対称モノイダル圏として、操作的圏を定義する。
• 部分テストの圏 Par(B) を導入し、(−)total の構成により、全関数的圏 B と同値であることを示す。
• 各OTCに対して、Par(B) における余積を用いて直和を備えた新しいOTCを割り当てる完成関手 (−)+ を構成する。
• 効果的圏圏論の理論を用いて、特に述語 p: A → 1 + 1 を特徴関数として解釈する操作的論理を解釈する。
• OTCの圏と部分形の操作的圏の圏との間の関手的対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、余積と粗粒度化を用いて、操作的確率的理論を圏論的に形式化できるか？
• RQ2 操作的理論 with control (OTC) の背後にある圏論的構造は何か？ また、効果的圏理論などの既存の枠組みとどのように関係しているか？
• RQ3 任意の操作的理論が、圏論的余積を用いて直和を備えたものに完成可能か？
• RQ4 どのOTCが効果的圏に対応するか？ また、この部分クラスを特徴付ける公理は何か？
• RQ5 Par(B) における余積と部分射の普遍性が、古典的データと確率的プロセスのモデル化をどのように支援するか？

主な発見

• 本稿は、全関数的形と部分関数的形の操作的圏の間に双対性を確立し、(−)total および Par(−) の関手によって、それぞれが他方を決定できることを示している。
• 任意の操作的理論 with control (OTC) は、部分圏 Par(B) における余積を用いた構成 (−)+ を用いて、直和を備えた新たなOTCに完成可能である。
• 定理18は、直和を含むOTCに一致する操作的圏を特定し、このような圏がまさにこの構造を持つOTCから生じることを示している。
• 系23は、効果的圏に対応するOTCの部分クラスを特定し、効果的圏が公理1および2を満たすOTCと同値であることを示している。
• 本フレームワークは、操作的論理の圏論的意味論を提供し、述語 p: A → 1 + 1 が古典論理における部分集合に対応し、射 f > g が粗粒度化をモデル化する。
• 結果として、OTCと操作的圏の間の関手的対応関係が確立され、(−)+ と Event(−) が、直和を備えたOTCの圏と部分形の操作的圏の圏との間で逆同値をなしている。