[論文レビュー] Operations in Milnor K-theory

Charles Vial|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、体および滑らかなスキームの mod $p$ ミルナー K-理論におけるすべての作用素を分類し、体拡張に関して、分割冪作用素がすべての作用素を張ることを示している。$p$ が奇数のとき、作用素は分割冪 $\gamma_n$ によって生成される。$p=2$ のとき、$-1$ が平方でない場合には、$\mathrm{Ker}(\tau_i)$ を含む修正された構造が、定義されない分割冪を補う。

ABSTRACT

We show that operations in Milnor K-theory mod $p$ of a field are spanned by divided power operations. After giving an explicit formula for divided power operations and extending them to some new cases, we determine for all fields $k$ and all prime numbers $p$, all the operations $K^M_i/p o K^M_j/p$ commuting with field extensions over the base field $k$. Moreover, the integral case is discussed and we determine the operations $K^M_i/p o K^M_j/p$ for smooth schemes over a field.

研究の動機と目的

• ベース体 $k_0$ を含む体拡張に関して可換であるような、$K^\mathrm{M}_i/k \to K^\mathrm{M}_*/k$ の $p$ を法とする自然変換（作用素）をすべて分類すること。
• 体 $k_0$ において $-1$ が平方でないとき、mod 2 ミルナー K-理論における分割冪が正しく定義されない場合の解決。
• 体上の滑らかなスキームにおける作用素への分類の拡張。
• 加法的作用素が明確な意味で自明であることを示し、一般の作用素とは区別すること。
• サイクル加群理論と専ら写像を用いて、分割冪が作用素代数の基底をなすことを確立すること。

提案手法

• 体 $k$ の $K^\mathrm{M}_i(k)/p$ 内の記号の和に対する分割冪作用素 $\gamma_n(x)$ を、和から得られる $n$ 個の異なる記号の積として定義する。
• Revoy や Kahn の結果を用いて、$p$ が奇数、または $p=2$ かつ $k$ が $\sqrt{-1}$ を含むとき、$\gamma_n$ が正しく定義された作用素を定義することを証明する。
• $p=2$ で $k_0$ において $-1$ が平方でないとき、写像 $\tau_i: x \mapsto \{-1\}^{i-1} \cdot x$ の核を用いて新しい作用素を定義する。
• サイクル加群におけるホモトピー性および専ら写像を用いて、滑らかなスキーム上の作用素が分割冪によって張られることを証明する。
• 命題 5.1 の推論を適用して、$x \mapsto x \cdot \{t\}$ が $M_*(k(t))/p$ 内で単射であることを保証し、分類を可能にする。
• 環構造を備えたサイクル加群の構造を活用して、体から滑らかなスキームおよび整数的作用素への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベース体 $k_0$ を含む体拡張に関して可換であるような、$K^\mathrm{M}_i/k \to K^\mathrm{M}_*/k$ の $p$ を法とする作用素の完全な代数的構造は何か？
• RQ2 なぜ標準的な分割冪作用素は、$k_0$ において $-1$ が平方でないとき、mod 2 ミルナー K-理論で正しく定義されないのか？
• RQ3 分割冪が正しく定義されない場合、たとえば $\sqrt{-1}$ を含まない体上の mod 2 K-理論において、どのように作用素を分類できるか？
• RQ4 専ら写像は、体上の滑らかなスキームにおける整数的作用素の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 ミルナー K-理論上の加法的作用素は非自明か、それとも単なる恒等写像のスカラー倍に還元されるのか？

主な発見

• $p$ が奇数で $i \geq 2$ が偶数のとき、$K^\mathrm{M}_i/k \to K^\mathrm{M}_*/k$ の $p$ を法とする作用素の代数は、$n \geq 0$ に対して $\gamma_n$ によって生成される $K^\mathrm{M}_*(k_0)/p$-自由加群である。
• $p$ が奇数で $i \geq 1$ が奇数のとき、作用素は $K^\mathrm{M}_*(k_0)/p$ 上で $\gamma_0$ と $\gamma_1$ によって張られる。
• $p=2$ で $i \geq 2$ のとき、作用素は $\gamma_0$、$\gamma_1$、および $n \geq 2$ に対して $\mathrm{Ker}(\tau_i) \cdot \gamma_n$ によって生成され、ここで $\tau_i(x) = \{-1\}^{i-1} \cdot x$ である。
• $-1$ が $k_0$ で平方であるとき、$\mathrm{Ker}(\tau_i) = K^\mathrm{M}_*(k_0)/2$ となるため、構造は $K^\mathrm{M}_*(k_0)/2$ 上の自由加群に簡略化される。
• 体 $k$ 上の滑らかなスキームにおける整数的作用素 $K^\mathrm{M}_i/k \to H^0(-, M_*/p)$ は、$H^0(X, M_*/p)$-加群として分割冪によって張られる。
• 加法的作用素 $K^\mathrm{M}_i \to M_*$ は、すべてが恒等写像のスカラー倍であるという意味で自明である。これは定理 5.6 で示されている。