[論文レビュー] Operations on Graphs Increasing Some Graph Parameters

Alexander Kelmans|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ラプラシアン固有値、信頼性、全域木の数といった重要なグラフパラメータを増加させるグラフ操作を調査する。重み付きグラフにおける対称的かつ条件を満たす操作を導入し、それらが特定の条件下でこれらのパラメータを保存または増加させることを示し、特に二部グラフにおいては最大ラプラシアン固有値が増加することを証明することで、グラフ族全体における信頼性およびスペクトル的性質の単調性を確立する。

ABSTRACT

In this partly expository paper we discuss and describe some of our old and recent results on partial orders on the set (m,n)-graphs (i.e. graphs with n vertices and m edges) and some operations on graphs that are monotone with respect to these partial orders. The partial orders under consideration include those related with some Laplacian characteristics of graphs as well as with some probabilistic characteristics of graphs with randomly deleted edges. Section 2 provides some notions, notation, and simple observations. Section 3 contains some basic facts on the Laplacian polynomial of a graph. Section 4 describes various graph operation and their properties. In Section 5 we introduce some partial orders on the set of (m,n)-graphs related, in particular, with the graph Laplacian and the graph reliability (Laplacian posets and reliability posets}). Section 6 contains some old and recent results on the monotonicity of some graph operations with respect to Laplacian posets. Section 7 and 8 include some old and recent results on the monotonicity of some graph operations with respect to reliability posets and to some other parameters of graphs as well as some open problems. Section 9 contains some generalizations of the described results on weighted graphs. Keywords: graph, graph operations, graph posets, random graphs, decomposable graphs, threshold graphs, weighted graphs, spanning subgraphs, Laplacian polynomial and spectrum, adjacency polynomial and spectrum, graph reliability, trees, forests, Hamiltonian cycle and path, symmetric polynomials

研究の動機と目的

• 全域木の数、信頼性、ラプラシアン固有値といった基本的グラフパラメータを増加させるグラフ操作を研究すること。
• 固定された頂点数と辺数を持つグラフに対して、信頼性およびラプラシアンスペクトル的性質に基づく部分順序を定義・分析すること。
• 非重み付きグラフにおけるグラフ操作の結果を重み付きグラフへ一般化すること、特に対称的(v₁,v₂,ε)-操作に焦点を当てる。
• エッジ故障確率pに依存しない最も信頼性の高いまたは最も信頼性の低いグラフが存在するか、そしてそれが一意であるかを調査すること。
• スレッショルドグラフの概念を重み付きグラフへ拡張し、対称的エッジ重み操作の下でスペクトル的性質の単調性を確立すること。

提案手法

• 重み付きグラフに適用される対称的(v₁,v₂,ε)-操作を導入し、二つの頂点間でエッジ重みを再分配しながら総重みを保存する。
• ペロン＝フロベニウスの定理およびコーシー＝シュワーツの最小最大原理を用いて、重み付きグラフの隣接行列の最大固有値β(Kʷ)を分析する。
• マトリクストリー定理およびラプラシアン行列の性質を適用し、全域木の数をラプラシアン行列の固有値と関連付ける。
• 信頼性R(p,G)を、エッジが確率pで保持されるランダム部分グラフが接続されている確率として定義し、すべてのp ∈ [0,1]に対してR(p,G) ≥ R(p,F)が成り立つ場合にG ⪰ʳ Fという部分順序でグラフを比較する。
• 二部グラフの重み付きグラフを、bip(Kʷ) = odc(Kʷ) = n+1という条件で定義し、対称的変換がそのようなグラフにおける最大ラプラシアン固有値λ(Kʷ)を保存または増加させることを証明する。
• すべてのv ≠ x,yに対してw(xv) ≤ w(yv)が成り立つとき、x ⪯ yと定義することでスレッショルドグラフを重み付きグラフへ一般化し、そのようなグラフ上で対称的変換の下でλ(Kʷ)の単調性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n個の頂点とm本の辺を持つグラフの集合は、常にエッジ故障確率pに依存しない最も信頼性の高いグラフを含むか？
• RQ2 対称的(v₁,v₂,ε)-操作が、結果として得られるグラフが二部グラフである場合に、最大ラプラシアン固有値を増加させることを示せるか？
• RQ3 対称的(v₁,v₂,ε)-操作が、グラフの全域木の数を保存または増加させる条件は何か？
• RQ4 信頼性順序⪰ʳは全順序であるか、それともGₙᵐに比較不能なグラフが存在するか？
• RQ5 スレッショルドグラフの概念を重み付きグラフへ拡張し、対称的変換がスペクトル的パラメータを保存または増加させることを保証できるか？

主な発見

• 重み付きグラフKʷに対して対称的(v₁,v₂,ε)-操作を適用するとき、操作が対称的であり、かつすべてのsについて共通近傍内でw(v₁s) ≥ w(v₂s) ≥ ε(s) ≥ 0を満たすならば、隣接行列の最大固有値β(Kʷ)が増加する。
• 二部重み付きグラフKʷに対して、対称的(v₁,v₂,ε)-操作が最大ラプラシアン固有値λ(Kʷ)を増加させる。ただし、二部グラフ性が保持されることが条件である。
• G′がGから対称的Kₓᵧ操作によって得られ、G′が二部グラフであるならば、G ⪰ᶠ G′が成り立つ。これは、信頼性順序がそのような操作のもとで保存されることを意味する。
• 条件bip(Kʷ) = odc(Kʷ) = n+1は、二部重み付きグラフを特徴づけ、この条件下ではL(λ,Kʷ) = L⁺(λ,Kʷ)が成り立ち、ラプラシアン行列と符号なしラプラシアン行列の特性多項式が等しくなる。
• 重み付きスレッショルドグラフにおいて、すべての頂点ペアに対してx ⪯ yが成り立つとき、対称的(v₁,v₂,ε)-操作の下でラプラシアン行列の最大固有値λ(Kʷ)が増加する。
• 本稿では、特定の(n,m)ペアに対してGₙᵐ内に⪰ʳ最大グラフが存在しないことを証明しており、これは最も信頼性の高いグラフがpに依存することを示し、信頼性順序が全順序でないことを示している。