[論文レビュー] Operator algebras and topology

Thomas Schick|ArXiv.org|Sep 13, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特にC*-代数と Baum-Connes 予想を用いた作用素代数的手法が、高次元多様体位相の強力な道具であることを示している。インデックス理論、L²不変量、正のスカラー曲率といった幾何的問題との関係を確立し、Baum-Connes 予想が Novikov 予想および安定 Gromov-Lawson-Rosenberg 予想を含む主要な位相的予想を示すことを証明している。また、ねじれをもつ群やブレード群に対する Atiyah 予想の進展も示している。

ABSTRACT

These notes cover the contents of three survey lectures held at the ICTP Trieste Summer school on High dimensional manifold theory 2001. They introduce techniques coming from the theory of operator algebras. We will focus on the basic definitions and properties, and on their relevance to the geometry and topology of manifolds. An central pillar of work in the theory of C*-algebras is the Baum-Connes conjecture. It implies the Novikov conjecture. In the first talk, the Baum-Connes conjecture will be explained and put into our context. One application of the Baum-Connes conjecture is to the positive scalar curvature question. It implies the so called ``stable Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture''. The unstable version of this conjecture said that, given a closed spin manifolds M, a certain obstruction, living in a certain (topological) K-theory group, vanishes if and only M admits a Riemannian metric with positive scalar curvature. It turns out that this is wrong, and counterexamples will be presented in the second talk. The third talk introduces $L^2$-cohomology, $L^2$-Betti numbers and other $L^2$-invariants. These invariants, their basic properties, and the central questions about them are introduced.

研究の動機と目的

• 高次元多様体理論と作用素代数的手法、特にC*-代数とK理論を結びつけること。
• Baum-Connes 予想が位相における主要な予想（Novikov 予想や安定 Gromov-Lawson-Rosenberg 予想など）をどのように含意するかを説明すること。
• ねじれをもつ群およびブレード群に対して、Atiyah 予想の妥当性を、近似法および群の完備化を用いて調査すること。
• L²ベッチ数およびL²コホモロジーを多様体および群作用の不変量として導入・分析すること。
• 作用素代数の文脈における代数的K理論と位相的K理論の関係を明確にし、幾何への応用を明らかにすること。

提案手法

• アティヤ＝シンガーのインデックス定理を基盤として、余接 bundle のデータに基づき、楕円型作用素とその記号を定義する。
• 相対K理論を用いて、楕円型作用素の記号を $K^0(DT^*M, ST^*M)$ の元に結びつけることで、解析と位相を結びつける。
• Baum-Connes 予想を、群の簡約C*-代数のK理論とその固有作用の分類空間のG-不変K理論との間の同型として導入する。
• 有限商 $\Gamma/\Gamma_k$ を用いた作用素の核の近似技術を用い、$\dim_\Gamma(\ker A) = \lim_{k\to\infty} \dim_{\Gamma/\Gamma_k}(\ker A_k)$ を示す。
• 完全非連結完備化のガロアコhomologyを用いて、ブレード群およびそのねじれのない有限拡張がクラス $\mathcal{D}$ に属することを証明し、これによりこれらの群に対する Atiyah 予想が成立することを可能にする。
• L²不変量の理論、特にL²ベッチ数およびL²インデックス定理を用いて、スペクトル性質および位相的障害を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Baum-Connes 予想は、Novikov 予想および正のスカラー曲率問題とどのように関係しているか？
• RQ2 L²コホモロジーおよびL²ベッチ数は、多様体および群作用の位相的不変量を検出するために果たす役割は何か？
• RQ3 ねじれをもつ群に対して、L²ベッチ数に関するAtiyah予想が成り立つ群のクラスは何か、特にねじれをもつ群について。
• RQ4 有限商によるL²不変量の近似が、代数的係数を超えて一般化可能か？
• RQ5 クラス $\mathcal{D}$ は、ブレード群およびその拡張における Atiyah 予想およびゼロ除算予想の文脈で、どのような意義をもつのか？

主な発見

• Baum-Connes 予想は Novikov 予想を含意しており、非可換幾何学と高次元位相の間の深い関係を示している。
• 安定 Gromov-Lawson-Rosenberg 予想は Baum-Connes 予想によって含意され、正のスカラー曲率計量のK理論的障害を提供する。
• 不安定な Gromov-Lawson-Rosenberg 予想に対して反例が存在し、K理論的障害の消滅が正のスカラー曲率の存在を十分に保証しないことが示された。
• ブレード群 $B_n$ はクラス $\mathcal{D}$ に属するため、Atiyah 予想が $B_n$ に対して成立する。これは、互いに包含関係にあり、交わりが自明であるねじれのない正規部分群の入れ子構造の存在による。
• 代数的係数に対しては、近似結果 $\dim_\Gamma(\ker A) = \lim_{k\to\infty} \dim_{\Gamma/\Gamma_k}(\ker A_k)$ が成り立ち、Atiyah 予想の極限における妥当性を支持する。
• ねじれをもつ群に対して、$Fin^{-1}(\Gamma)$ が離散的であれば、環 $D_K\Gamma$ は半単純アートン環であるため、ねじれが存在する場合でも、Atiyah 予想の一般化された版が可能となる。