[論文レビュー] Operator algebras associated with unitary commutation relations

S. C. Power, Baruch Solel|ArXiv.org|Apr 2, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$ nm \times nm $ 行列 $ u $ によって定義されるユニタリな交換関係を満たす創出作用素によって生成される非自己随伴作用素代数を導入し、分類する。代数 $ \mathcal{A}_u $ および $ \mathcal{L}_u $ の同型型は、ユニタリ行列 $ u $ によって完全に決定され、等長的同型に関しては、$ n = m $ の場合を除き積ユニタリ同値性、またはその変種に依存する。特に $ 2 \times 2 $ ユニタリ行列に対しては非可算無限個の同型類が存在することが明らかになる。

ABSTRACT

We define nonselfadjoint operator algebras with generators $L_{e_1},..., L_{e_n}, L_{f_1},...,L_{f_m}$ subject to the unitary commutation relations of the form \[ L_{e_i}L_{f_j} = \sum_{k,l} u_{i,j,k,l} L_{f_l}L_{e_k}\] where $u= (u_{i,j,k,l})$ is an $nm imes nm$ unitary matrix. These algebras, which generalise the analytic Toeplitz algebras of rank 2 graphs with a single vertex, are classified up to isometric isomorphism in terms of the matrix $u$.

研究の動機と目的

• 創出作用素がユニタリ交換関係を満たす非自己随伴作用素代数 $ \mathcal{A}_u $ および $ \mathcal{L}_u $ を定義し、それらを研究すること。
• これらの作用素代数を、基礎となるユニタリ行列 $ u $ を用いて等長的同型に関して分類すること。
• 解析的トーピツ代数および自由半群代数の理論を、構造的な交換関係を持つより広い非可換作用素代数のクラスへ一般化すること。
• ユニタリ同値性を介して、これらの代数と $ C^* $-対応体 $ \mathcal{T}_+(X) $ の間の関係を確立すること。

提案手法

• ユニタリ行列 $ u \in M_{nm}(\mathbb{C}) $ によって関係が符号化された、$ \mathbb{Z}_+^2 $-階ごとのフォック空間上の左創出作用素によって生成されるノルム閉包および弱-operator閉包代数 $ \mathcal{A}_u $ および $ \mathcal{L}_u $ を定義する。
• 特性空間 $ M(\mathcal{A}_u) $ および $ \mathcal{L}_u $ 上の w*-連続特性を、$ \overline{\mathbb{B}}_n \times \overline{\mathbb{B}}_m $ 内の代数的多様体 $ V_u $ に同定する。
• 特性空間における最小の自己同型不変部分集合であるコア $ \Omega_u^0 $ を導入し、一般の同型が必ず階数付きであることを証明する。
• ヴォイキュレスクの $ U(1,n) $ によるクンツ代数 $ \mathcal{O}_n $ 上の作用を用いて、特性空間の内部上で推移的に作用する明示的なユニタリ自己同型 $ \Theta_\alpha $ を構成する。
• ユニタリ作用素 $ w $ および $ v_k $ を用いて自己同型のユニタリ実装を確立し、$ \mathcal{A}_u $ がテンソル代数 $ \mathcal{T}_+(X) $ の部分代数にユニタリ同型であることを示す。
• 特に $ n \neq m $ の場合に、$ \mathcal{A}_u $ が $ \mathcal{T}_+(X) $ に埋め込まれ、$ \mathcal{A}_u $ の自己同型が $ \mathcal{T}_+(X) $ の自己同型に拡張できることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ行列 $ u $ および $ v $ に対応する二つの作用素代数 $ \mathcal{A}_u $ および $ \mathcal{A}_v $ が等長的同型であるのはいつか？
• RQ2 ユニタリ行列 $ u $ の構造が代数 $ \mathcal{A}_u $ の同型型にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $ \mathcal{A}_u $ の自己同型は、それらを含むより大きなテンソル代数 $ \mathcal{T}_+(X) $ の自己同型に拡張できるか？
• RQ4 コア $ \Omega_u^0 $ は同型および階数不変性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 $ n = m $ と $ n \neq m $ の場合における分類結果の違いは何か？

主な発見

• 代数 $ \mathcal{A}_u $ および $ \mathcal{L}_u $ は、ユニタリ行列 $ u $ によって等長的同型に関して分類され、$ n \neq m $ の場合には積ユニタリ同値性 $ u \sim A \otimes B \cdot v \cdot (A \otimes B)^* $ によって同型型が決定される。
• $ n = m $ の場合、生成子を入れ替える同型を許す、転置共役関係 $ \tilde{v}_{i,j,k,l} = \overline{v}_{l,k,j,i} $ による追加の同型類が生じる。
• $ 2 \times 2 $ ユニタリ行列に対しては、$ \mathcal{A}_u $ に対して非可算無限個の同型類が存在し、9変数の実数パラメータでパラメータ化される。これは、置換行列の場合の有限9類とは対照的である。
• コア $ \Omega_u^0 $ は、自己同型が推移的に作用する最小の自己同型不変部分集合であり、一般の同型が必ず階数付きであることを証明するために用いられる。
• $ \mathcal{A}_u $ は、$ \mathcal{E}_n $ 上の $ C^* $-対応体 $ X $ を用いたテンソル代数 $ \mathcal{T}_+(X) $ のノルム閉部分代数とユニタリ同型である。
• 特に $ n \neq m $ の場合に、$ \Theta_\alpha $ や $ \Psi_{A,B} $ によって誘導される $ \mathcal{A}_u $ の自己同型はユニタリ実装され、$ \mathcal{T}_+(X) $ の自己同型に拡張可能である。