[論文レビュー] Operator content of real-space entanglement spectra at conformal critical points

Andreas M. Läuchli|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Crystallography and Radiation Phenomena参考文献 4被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、1次元量子多体系の conformal 临界点における低エネルギーもつれスペクトルが、境界 conformal field theory (CFT) のエネルギースペクトルに対応することを数値的証明する。もつれスペクトルを自由境界条件をとる境界 CFT の $\hat{L}_0$ スペクトルと同一視することで、もつれエントロピーから得られる中央電荷を超えて、基礎となる CFT のcompactification 半径および演算子内容を、もつれスペクトルそのものから直接抽出可能となる。

ABSTRACT

We provide numerical evidence that the low-lying part of the entanglement spectrum of a real-space block (i.e. a single interval) of a one-dimensional quantum many body system at a conformal critical point corresponds to the energy spectrum of a boundary conformal field theory (CFT). This correspondence allows to uncover a subset of the operator content of a conformal field theory by inspection of the entanglement spectrum of a single wave function, thus providing important information on a CFT beyond its central charge. As a practical application we show that for many systems described by a compactified boson CFT, one can infer the compactification radius (governing e.g. the power law decay of correlation functions) of the theory in a simple way based on the entanglement spectrum.

研究の動機と目的

• 1次元系の実空間ブロックにおける低エネルギーもつれスペクトルと、 conformal 臨界点における境界 CFT のエネルギースペクトルとの対応関係を確立すること。
• もつれスペクトルが中央電荷以外に、基礎となる CFT の演算子内容および compactification 半径をも含んでいることを示すこと。
• 1つの波動関数のもつれスペクトルのみを用いて、$c=1$ CFT における Luttinger 液体パラメータおよび compactification 半径を決定する実用的手法を提供すること。
• もつれ切断における境界条件の役割を明確にし、有効な境界 CFT における自由境界条件に対応することを示すこと。
• DMRG や行列積状態法におけるもつれスペクトルの診断的パワーを、CFT の完全な演算子内容と結びつけることで拡張すること。

提案手法

• 1次元量子格子模型の conformal 臨界点における実空間ブロックの縮約密度行列の数値的対角化。
• 開境界条件および周期的境界条件を用いた密度行列縮約群 (DMRG) シミュレーションによりもつれスペクトルを計算。
• もつれスペクトルの再スケーリングにより、特に整数分割関数 $p(l)$ と一致するデゲネラシー構造が顕在化されるように調整。
• もつれスペクトルと境界 CFT のエネルギー準位を比較し、スケーリング次元を用いて一次場および Virasoro ツリーを同定。
• 粒子数フラクチュエーションおよび準位間隔の分析により、比 $\eta = \Delta\xi(0,\pm1)/\Delta\xi(0,0)$ を用いて compactification 半径 $R$ を抽出。
• もつれスペクトルを自由境界条件をとる境界 CFT の $\hat{L}_0$ スペクトルにマッピングし、OBC および PBC の両設定で同一の演算子内容が得られることから、自由境界条件が推定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子系の実空間ブロックにおける低エネルギーもつれスペクトルは、 conformal 臨界点において境界 CFT のエネルギースペクトルと解釈可能か？
• RQ2 もつれスペクトルと基礎となる CFT の演算子内容（例えば一次場およびそのスケーリング次元）との関係は何か？
• RQ3 $c=1$ CFT（例えば compactified ボソン）の compactification 半径は、もつれスペクトルから直接抽出可能か？
• RQ4 もつれ切断における異なる境界条件がもつれスペクトルの演算子内容に与える影響は何か？
• RQ5 もつれスペクトルは中央電荷を超えて、Luttinger 液体パラメータなどの情報も提供するのか？

主な発見

• 1次元臨界系における実空間ブロックの低エネルギーもつれスペクトルは、自由境界条件をとる境界 CFT のエネルギースペクトルに対応する。
• もつれスペクトルのデゲネラシー構造は整数分割数 $p(l)$ と一致し、Virasoro ツリーの存在が裏付けられる。
• Bose-Hubbard モデルにおいて $n=1$ のとき、比 $\eta = \Delta\xi(0,\pm1)/\Delta\xi(0,0)$ を用いてもつれスペクトルから compactification 半径 $R$ を抽出でき、臨界点で $\eta = 1/2$ となる。
• もつれスペクトルは CFT の演算子内容を明らかにする：Bose-Hubbard モデルでは、スペクトルは一次場 $0$, $1/2$, $1$ をもつ $\mathcal{M}_2$ 最小模型と一致する。
• 3状態 Potts モデル（$c=4/5$）において、もつれスペクトルは一次場 $0 \oplus (2 \times 2/3) \oplus 3$ をもつ $\mathcal{M}_5$ 最小模型と一致し、自由境界条件と整合的である。
• シミュレーションにおける境界条件の変更（例えば端に局所的場を導入）により、もつれスペクトルの演算子内容が変化し、$1/8 \oplus 13/8$ や $1/40 \oplus 21/40$ といった境界 CFT の予測と一致する。