[論文レビュー] Operator growth in SU(2) Yang-Mills theory

Shiyong Guo|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2022

Quantum many-body systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、SU(2) Yang-Mills理論を非線形に結合された調和振動子（CHO）モデルに簡略化し、Krylov複雑度とLanczos係数を計算することで、K-複雑度における2次的から線形的への成長変化が、カオス的転移を示すことを明らかにした。Lanczos係数の勾配を用いて、温度およびエネルギーに依存する量子リャプノフ指数の上界を確立し、普遍的演算子成長仮説を支持するとともに、演算子のダイナミクスと重力双対の可能性を結びつけた。

ABSTRACT

Krylov complexity is a novel observable for detecting quantum chaos, and an indicator of a possible gravity dual. In this paper, we compute the Krylov complexity and the associated Lanczos coefficients in the SU(2) Yang-Mills theory, which can be reduced to a nonlinearly coupled harmonic oscillators (CHO) model. We show that there exists a chaotic transition in the growth of Krylov complexity. The Krylov complexity shows a quadratic growth in the early time stage and then grows linearly. The corresponding Lanczos coefficient satisfies the universal operator growth hypothesis, i.e., grows linearly first and then enters the saturation plateau. By the linear growth of Lanczos coefficients, we obtain an upper bound of the quantum Lyapunov exponent. Finally, we investigate the effect of different energy sectors on the K-complexity and Lanczos coefficients.

研究の動機と目的

• Krylov複雑度を用いた量子カオスのプローブとして、SU(2) Yang-Mills理論における演算子成長ダイナミクスを調査すること。
• 強い結合量子場理論におけるLanczos係数の振る舞いを分析することで、普遍的演算子成長仮説を検証すること。
• CHOモデルにおけるLanczos係数の勾配から、量子リャプノフ指数の上界を導出すること。
• 異なるエネルギー領域および温度がK-複雑度およびLanczos成長に与える影響を検討すること。

提案手法

• 数値解析のため、SU(2) Yang-Mills理論を非線形に結合された調和振動子（CHO）モデルに簡略化する。
• Lanczosアルゴリズムを用いてKrylov基底を構築し、局所的演算子のハイゼンベルク時間発展からLanczos係数 $b_n$ を抽出する。
• 時間発展に伴う演算子のKrylov基底内での広がりを追跡することで、Krylov複雑度 $K(t)$ を数値的に計算する。
• 古典的相関関数の解析性とLanczos係数の成長率の間の関係 $a = \pi/(4\sigma_*)$ を用いる。
• ボルツマン因子 $e^{-\beta E_n}$ を用いて、異なるエネルギー準位からの寄与を重み付けすることで、熱的K-複雑度を評価する。
• スペクトル形式因子を分析し、CHOモデルにおける準位統計およびランダム行列の挙動の可能性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(2) Yang-Mills理論におけるKrylov複雑度は、初期に2次的成長を示し、その後線形的成長に移行するか。これは、可積分的からカオス的ダイナミクスへの転移を示唆するか。
• RQ2 CHOモデルにおけるLanczos係数は、普遍的成長パターン（線形増加に続く飽和）に従うか。これは、演算子成長仮説を支持するか。
• RQ3 Lanczos係数の成長勾配は、量子リャプノフ指数の非摂動的上界を提供できるか。この上界はエネルギーおよび温度にどのように依存するか。
• RQ4 異なるエネルギー領域は、マイクロカノニカルおよび熱的アンサンブルにおいてK-複雑度およびLanczos係数にどのように寄与するか。
• RQ5 CHOモデルのスペクトル形式因子は、ランダム行列理論と整合する挙動を示すか。これは、量子カオスの可能性を示唆するか。

主な発見

• Krylov複雑度は初期に2次的成長を示し、遷移時間 $t_0$ の後に線形的成長に移行する。これは、CHOモデルにおける可積分的からカオス的ダイナミクスへの動的転移を示唆する。
• Lanczos係数 $b_n$ は、$n$ が小さい範囲で線形的に増加し、その後飽和プラトーに達する。これは、普遍的演算子成長仮説の妥当性を確認する。
• Lanczos係数の成長勾配 $a$ は、量子リャプノフ指数の上界 $\lambda_{\text{max}} < 2a$ を提供する。高エネルギー極限では、この上界は $E^{1/4}$ のスケーリングに従う。
• 熱的アンサンブルでは、温度が上昇することで高エネルギーモードからの寄与が増加し、リャプノフ指数の有効な上界が上昇する。
• CHOモデルのスペクトル形式因子は、ランダム行列理論と類似したラムプおよびプラトー構造を示し、普遍的なカオス的挙動の可能性を示唆する。
• 古典的自己相関関数の解析的領域の分析により、リャプノフ上界の $E^{1/4}$ スケーリングが確認され、量子結果と整合的である。