[論文レビュー] Operator inference for non-intrusive model reduction with quadratic manifolds

Rudy Geelen, Stephen Wright+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ポーラー・オーソゴナル分解（POD）を用いた線形部分空間と二次項を組み合わせた多項式写像を用いて、高次元スナップショットからデータ駆動型の二次多様体を学習する、侵襲的でないモデル還元フレームワークを提案する。この多様体上で作用素推論を適用することで、特に対流優勢なPDEに対して線形部分空間に比べて優れた精度と効率性を達成し、特に対数値の固有値がゆっくり減衰するため線形還元が失敗する状況でも有効である。

ABSTRACT

This paper proposes a novel approach for learning a data-driven quadratic manifold from high-dimensional data, then employing this quadratic manifold to derive efficient physics-based reduced-order models. The key ingredient of the approach is a polynomial mapping between high-dimensional states and a low-dimensional embedding. This mapping consists of two parts: a representation in a linear subspace (computed in this work using the proper orthogonal decomposition) and a quadratic component. The approach can be viewed as a form of data-driven closure modeling, since the quadratic component introduces directions into the approximation that lie in the orthogonal complement of the linear subspace, but without introducing any additional degrees of freedom to the low-dimensional representation. Combining the quadratic manifold approximation with the operator inference method for projection-based model reduction leads to a scalable non-intrusive approach for learning reduced-order models of dynamical systems. Applying the new approach to transport-dominated systems of partial differential equations illustrates the gains in efficiency that can be achieved over approximation in a linear subspace.

研究の動機と目的

• 特対流優勢なPDEにおいて、コルモゴロフn幅の減衰が遅いため線形部分空間の還元モデルに限界が生じる状況を解決すること。
• 元のシステムのコードや構造を変更せずに、スケーラブルで非侵襲的な還元モデル学習手法を開発すること。
• データ駆動型の二次的成分を用いて線形部分空間に曲がりを追加する二次多様体近似を導入し、自由度を増加させずに近似性能を向上させること。
• スナップショットデータから導出される非線形多様体と作用素推論を組み合わせることで、効率的かつ物理的根拠を持つ還元モデルを実現すること。
• ニューラルネットワークベースの非線形モデル還元におけるスケーラビリティと解釈可能性の課題を、構造的かつ解釈可能な多項式多様体を用いることで克服すること。

提案手法

• ポーラー・オーソゴナル分解で計算された線形部分空間に加え、二次的成分を含む多項式形式による非線形写像を用いて、高次元状態から低次元埋め込みへと写像する。
• スナップショットデータ上で線形回帰を用いて二次的成分を学習し、オンラインシミュレーション中にオンラインまたは反復的ソルバーを必要としない。
• 低次元多様体上で最小二乗問題を解くことにより、作用素推論を用いて還元された系の動的挙動を同定し、物理的構造を保持する。
• 正則化された最適化問題として多様体学習を定式化し、ℓ2正則化を用いて数値的安定性を高め、過学習を回避する。
• ℓ2正則化最小二乗問題の解法としてSpaRSAアルゴリズムを適用し、計算の効率性と安定性を確保する。
• 得られた二次多様体と作用素推論を組み合わせることで、非侵襲的かつ射影に基づく還元モデルを導出し、精度と計算効率の両立を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特対流優勢なPDEにおいて、特に対数値の固有値がゆっくり減衰する状況で、データ駆動型の二次多様体は線形部分空間に比べて還元モデルの精度を向上させるか？
• RQ2 スナップショットデータと線形回帰のみを用いて、非侵襲的かつ反復的でない方法で非線形多様体を学習できるか？
• RQ3 多様体に二次項を含めることで、正確な近似に必要な自由度の数はどの程度削減されるか？
• RQ4 キーネルPCAやニューラルネットワークなどの既存の非線形モデル還元手法と比較して、本手法の精度と効率性はいかがなものか？
• RQ5 物理的一致性を保持し、高速なオンライン評価を可能にするために、作用素推論を非線形多様体構造に効果的に適用できるか？

主な発見

• 提案された二次多様体アプローチは、特対流優勢なPDEにおいて、線形部分空間に比べて顕著に近似精度を向上させる。特に、特に対数値の固有値がゆっくり減衰する問題で、線形還元が失敗する状況でも有効である。
• 特に強い対流を伴う問題において、線形部分空間近似と比較して、収束性が向上し、より少ない自由度で誤差が低減される。
• 二次多様体上で作用素推論を適用することで、物理的一致性を保持した非侵襲的還元モデルが得られ、高速なオンライン評価が可能になる。
• ℓ2正則化最小二乗問題とSpaRSAアルゴリズムの適用により、多様体の複雑性が増大しても、数値的安定性と適切な条件数が保証される。
• フレームワークはスケーラブルかつ一般化可能であり、元のPDEソルバーに侵襲的な変更を加える必要がなく、システム構造に関する事前知識も不要である。
• 解釈可能性と計算効率の面で、既存の非侵襲的アプローチを上回り、ベンチマークとして用いられる特対流優勢問題においても高い精度を維持する。