[論文レビュー] Operator interpretation of resonances arising in spectral problems for 2 x 2 operator matrices

R. Mennicken, А. К. Мотовилов|ArXiv.org|Aug 1, 1997

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自己随伴成分を有する2×2作用素行列における共鳴の作用素理論的解釈を提供し、共鳴を含む非自己随伴作用素のスペクトルを構成する。作用素に対する関数計算を導入し、非線形方程式 H₁ = A₁ + V₁(H₁) を解くことにより、作用素 H₁ のスペクトル部分空間における共鳴固有ベクトルの完全性および基底性を証明する。

ABSTRACT

We consider operator matrices {\bf H}= (A_0 B_{01} \\ B_{10} A_{1}) with self-adjoint entries A_i, i=0,1, and bounded B_{01}=B_{10}^*, acting in the orthogonal sum {\cal H}={\cal H}_0\oplus{\cal H}_1 of Hilbert spaces {\cal H}_0 and {\cal H}_1. We are especially interested in the case where the spectrum of, say, A_1 is partly or totally embedded into the continuous spectrum of A_0 and the transfer function M_1(z)=A_1-z+V_1(z), where V_1(z)=B_{10}(z-A_0)^{-1}B_{01}, admits analytic continuation (as an operator-valued function) through the cuts along branches of the continuous spectrum of the entry A_0 into the unphysical sheet(s) of the spectral parameter plane. The values of z in the unphysical sheets where M_1^{-1}(z) and consequently the resolvent (H-z)^{-1} have poles are usually called resonances. A main goal of the present work is to find non-selfadjoint operators whose spectra include the resonances as well as to study the completeness and basis properties of the resonance eigenvectors of M_1(z) in {\cal H}_1. To this end we first construct an operator-valued function V_1(Y) on the space of operators in {\cal H}_1 possessing the property: V_1(Y)ψ_1=V_1(z)ψ_1 for any eigenvector ψ_1 of Y corresponding to an eigenvalue z and then study the equation H_1=A_1+V_1(H_1). We prove the solvability of this equation even in the case where the spectra of A_0 and A_1 overlap. Using the fact that the root vectors of the solutions H_1 are at the same time such vectors for M_1(z), we prove completeness and even basis properties for the root vectors (including those for the resonances).

研究の動機と目的

• 2×2作用素行列のスペクトル問題に現れる共鳴を、非自己随伴作用素の固有値として解釈すること。
• A₁のスペクトルがA₀の連続スペクトルと重複する埋め込まれたスペクトルの問題に対処すること。
• 移行関数 M₁(z) に関連する共鳴固有ベクトルの完全性および基底性を確立すること。
• 作用素 Y に対して V₁(Y)ψ₁ = V₁(z)ψ₁ を満たす作用素から作用素への関数計算 V₁(Y) を構築すること。ここで ψ₁ は Y の固有値 z を持つ固有ベクトルである。
• A₀ と A₁ のスペクトルが重複する場合でさえも、非線形作用素方程式 H₁ = A₁ + V₁(H₁) を解くこと。

提案手法

• H₁ 上で作用する移行関数 M₁(z) = A₁ − z + V₁(z) を定義する。ここで V₁(z) = B₁₀(z − A₀)⁻¹B₀₁ である。
• H₁ 内の有界作用素 Y に対して、Y の固有ベクトル ψ₁ と固有値 z に対して V₁(Y)ψ₁ = V₁(z)ψ₁ を満たす作用素値関数 V₁(Y) を構成する。
• H₁ を H₁ 内の未知作用素として扱い、非線形方程式 H₁ = A₁ + V₁(H₁) を導入する。
• A₀ と A₁ のスペクトルが重複する状況においても、方程式 H₁ = A₁ + V₁(H₁) の可解性を証明する。
• H₁ の根ベクトルが M₁(z) の根ベクトルと一致することを用いて、スペクトル性質を導出する。
• 非自己随伴作用素のスペクトル理論を適用し、H₁ 内の共鳴固有ベクトルの完全性および基底性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2×2作用素行列における共鳴は、非自己随伴作用素の固有値として解釈可能か？
• RQ2 Y の固有ベクトル上で V₁(z) の作用を保存する関数計算 V₁(Y) をどのように構築できるか？
• RQ3 A₀ と A₁ のスペクトルが重複する場合でも、非線形方程式 H₁ = A₁ + V₁(H₁) は可解か？
• RQ4 非線形方程式の解 H₁ の根ベクトルは、M₁(z) の共鳴固有ベクトルに対応するか？
• RQ5 ヒルベルト空間 H₁ 内での共鳴固有ベクトルの完全性および基底性は何か？

主な発見

• A₀ と A₁ のスペクトルが重複する場合でさえも、非線形作用素方程式 H₁ = A₁ + V₁(H₁) は可解である。
• 解作用素 H₁ の根ベクトルは、M₁(z) の根ベクトルと一致し、共鳴に対応するものも含む。
• M₁(z) の共鳴固有ベクトルはヒルベルト空間 H₁ で完全である。これは、稠密部分空間を張ることを意味する。
• 共鳴固有ベクトルは H₁ でリース基底をなす。これは、正規直交基底と一様に同値であることを意味する。
• V₁(Y) の構築により、作用素 Y に対する関数計算において V₁(z) のスペクトル的作用が保存される。
• A₁ が A₀ の連続スペクトルに埋め込まれたスペクトルを持つ場合でさえも、結果は、有界な非対角ブロックと自己随伴対角成分を有する作用素行列に対して成り立つ。