[論文レビュー] Operator Lipschitz functions (English translation)

А. Б. Александров, Vladimir Peller|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、すべての自己共役作用素 $ A, B $ に対して $ \|f(A) - f(B)\| \leq C\|A - B\| $ を満たす、$ \mathbb{R} $ 上の連続な実数値関数 $ f $ である作用素リプシッツ関数について包括的な分析を提供する。作用素リプシッツ性が、差分商 $ \mathfrak{D}f(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y} $ がシュール乗数であることと同値であることを確立し、作用素リプシッツ関数は、すべてのトレースクラスの摂動に対してリフシーツ＝クレインのトレース公式が成り立つ関数であることを証明する。

ABSTRACT

The purpose of this survey is a comprehensive study of operator Lip\-schitz functions. A continuous function $f$ on the real line ${\Bbb R}$ os called operator Lipschitz if $\|f(A)-f(B)\|\le\operatorname{const}\|A-B\|$ for arbitrary self-adjoint operators $A$ and $B$. We give sufficient conditions and necessary conditions for operator Lipschitzness. We also study the class of operator differentiable functions on ${\Bbb R}$ . Next, we consider operator Lipschitz functions on closed subsets of the plane and introduce the class of commutator Lipschitz functions on such subsets. An important role for the study of such classes of functions is played by double operator integrals and Schur multipliers.

研究の動機と目的

• すべての自己共役作用素 $ A, B $ に対して $ \|f(A) - f(B)\| \leq C\|A - B\| $ を満たす $ \mathbb{R} $ 上の連続関数 $ f $ を特徴づけ、作用素リプシッツ関数のクラスを定義すること。
• 作用素リプシッツ性、作用素微分可能性、および差分商 $ \mathfrak{D}f $ のシュール乗数性との関係を明確にすること。
• ベゾフ空間やニコルスキー＝ベゾフ空間などの関数空間を用いて、作用素リプシッツ性の必要十分条件を確立すること。
• 複素平面の部分集合上の関数へ理論を拡張し、共役作用素リプシッツ関数を導入し、二重作用素積分との関連を示すこと。
• 作用素リプシッツ関数が、任意の自己共役作用素に対して差がトレースクラスである場合のリフシーツ＝クレインのトレース公式の正当性に果たす役割を解明すること。

提案手法

• 自己共役作用素に対する $ f(A) - f(B) $ の定義と推定に、二重作用素積分を主な解析的道具として用いる。
• 差分商 $ \mathfrak{D}f(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y} $ のシュール乗数性を用いた作用素リプシッツ関数の特徴づけ。
• 補間理論および関数空間の埋め込み（例：$ B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}) \subset \text{OL}(\mathbb{R}) $）を応用し、十分条件を導出する。
• 複素平面の閉部分集合（単位円板や半平面など）における関数へ結果を拡張し、コーシー積分表現を用いる。
• トレースクラスの推定およびスペクトルシフト関数を用いて、作用素リプシッツ性とリフシーツ＝クレインのトレース公式の正当性を結びつける。
• シュール乗数およびハーガープテンソル積の技法を、非可換作用素対および $ \boldsymbol{S}_p $-ノルム推定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての自己共役作用素 $ A, B $ に対して $ \|f(A) - f(B)\| \leq C\|A - B\| $ が成り立つような、$ \mathbb{R} $ 上の連続関数 $ f $ に課される条件は何か？
• RQ2 作用素リプシッツ性は、差分商 $ \mathfrak{D}f $ のシュール乗数性とどのように関係しているか？
• RQ3 すべての自己共役作用素 $ A, B $ に対して差 $ A - B \in \boldsymbol{S}_1 $ を満たす場合、リフシーツ＝クレインのトレース公式が成り立つための条件は何か？
• RQ4 作用素リプシッツ関数の理論は、単位円板や半平面などの複素平面の部分集合上の関数へ拡張可能か？
• RQ5 作用素リプシッツ性と、シュレーディンガー＝フォン・ノイマンクラスにおける交換子の有界性との関係は何か？

主な発見

• 連続関数 $ f $ が $ \mathbb{R} $ 上で作用素リプシッツであるための必要十分条件は、その差分商 $ \mathfrak{D}f(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y} $ がシュール乗数であることである。
• 作用素リプシッツ関数は、必ず至る所で微分可能であるが、必ずしも連続的に微分可能とは限らない。
• すべての自己共役作用素 $ A, B $ に対して $ A - B \in \boldsymbol{S}_1 $ を満たす場合、リフシーツ＝クレインのトレース公式が成り立つのは、$ f $ が作用素リプシッツであるときかつそのときに限る。
• 任意の $ 0 < \alpha < 1 $ に対して、$ \Lambda_\alpha(\mathbb{Z}) $ に属する関数は作用素リプシッツであり、そのノルムは $ \Lambda_\alpha $-半ノルムによって制御される。
• $ \text{OL}(\mathbb{R}) $ のクラスは、リプシッツ関数のクラスを厳密に含むことが、ファルフォロフスカヤの例（$ f(x) = |x| $ が作用素リプシッツでない）によって示された。
• 非可換自己共役作用素の関数に対しては、$ \boldsymbol{S}_p $-ノルム推定 $ \|f(A_1,B_1) - f(A_2,B_2)\|_{\boldsymbol{S}_p} \leq C\|f\|_{B_{\infty,1}^1} \max\{\|A_1 - A_2\|_{\boldsymbol{S}_p}, \|B_1 - B_2\|_{\boldsymbol{S}_p}\} $ が成り立つのは $ p \in [1,2] $ の場合に限る。$ p > 2 $ の場合には成り立たない。