[論文レビュー] Operator monotone functions of several variables

Frank Hansen|ArXiv.org|May 14, 2002

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単変数関数の古典的概念を一般化する多変数関数における演算子単調性の新しい概念を導入する。基本的な同値性を確立する：関数が演算子凸であり、定義域の境界上で0に等しいことは、その逆数積変換が演算子単調であることと同値であり、これは単変数から多変数演算子理論への重要な双対性を拡張する。

ABSTRACT

We propose a notion of operator monotonicity for functions of several variables, which extends the well known notion of operator monotonicity for functions of only one variable. The notion is chosen such that a fundamental relationship between operator convexity and operator monotonicity for functions of one variable is extended also to functions of several variables.

研究の動機と目的

• 古典的な演算子単調性の概念を、主要な双対定理を保ちつつ、単変数から多変数関数へ拡張すること。
• テンソル積ヒルベルト空間上の自己共役作用素の組に作用する多変数関数の関数計算を定義すること。
• 演算子凸性と演算子単調性を結ぶ基本定理の多変数版を確立すること。
• 非可換作用素の問題を、テンソル積上のスペクトル測度を介して関数計算を定義することによって解決すること。
• 関数の演算子単調性がすべてのインデックスに対して同値であることを証明し、多変数設定における一貫性を保証すること。

提案手法

• ヒルベルト空間のテンソル積上のスペクトル測度を用いて多変数関数の関数計算を定義し、非可換な自己共役作用素の組に対して f(x₁,…,xₖ) を評価可能にする。
• すべての λ ∈ [0,1] および作用素の組に対して不等式 f(λx + (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y) を満たすことで、多変数関数の演算子凸性を定義する。
• g(r₁,…,rₖ) = r₁⁻¹⋯rₖ⁻¹ f(r₁,…,rₖ) という変換を提案し、演算子凸性と演算子単調性を関連付ける。
• f が連続的かつ演算子凸的であり、かつ任意の rᵢ = 0 のとき f(r₁,…,rₖ) ≤ 0 であれば、g は演算子単調であることを証明する。
• 近似法と行列不等式（特に行列のジェンセンの不等式）を用いて、行列凸性と単調性を確立する。
• 演算子単調性がインデックスの選択に依存しないことを示し、すべてのインデックスにおいて一貫した定義が得られることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 演算子凸性と演算子単調性の古典的双対性は、複数変数関数へと拡張可能か？
• RQ2 単変数の場合に標準的定義に還元される多変数関数の演算子単調性の正しい一般化とは何か？
• RQ3 非可換な自己共役作用素の多変数関数の関数計算を一貫して定義する方法は何か？
• RQ4 演算子凸関数の逆数積変換が演算子単調であることを保証する条件は何か？
• RQ5 多変数設定における演算子単調性はインデックスの選択に依存せず、整合的な概念となるか？

主な発見

• 定義域 [0,α₁[×⋯×[0,αₖ[ 上で定義された関数 f が、任意の rᵢ = 0 のとき 0 に等しく、かつ演算子凸であることは、関数 g(r₁,…,rₖ) = r₁⁻¹⋯rₖ⁻¹ f(r₁,…,rₖ) が演算子単調であることと同値である。
• 多変数設定における演算子単調性はインデックスに依存しない。つまり、あるインデックスに対して演算子単調であれば、すべてのインデックスに対して演算子単調である。
• テンソル積上のスペクトル測度を介して定義された関数計算は、f が単変数関数の積であるとき、積構造を保つ。
• 行列凸性の順序 (n₁,…,nₖ) は、射影および分解に関してジェンセン型不等式を満たすことを示唆する。
• 証明はワイエルシュトラス近似と行列不等式に依拠しており、g の行列単調性が f の行列凸性を示すことを示している。
• 定数関数 g(r₁,…,rₖ) = 1 は k ≥ 2 のとき演算子単調でない。これは (r₁,r₂) ↦ r₁r₂ が凸でないという事実と整合的である。