[論文レビュー] Operator Noncommutativity and Irreversibility in Quantum Chaos

Ryusuke Hamazaki, Kazuya Fujimoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Quantum many-body systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、初期局在状態における量子カオスにおける演算子の非可換性と不可逆性の間の定量的同等性を確立し、二乗可換子 $ C_{AB}(t) $ が四点の時序外オーダー相関関数（4-OTOC）ではなく、三つ目の時序外オーダー相関関数（3-OTOC）に支配されることを示している。この同等性は、系が局在状態から出発する場合、不可逆性（時間反転テストによる測定）と非可換性の増大が一致するため生じる。このとき、力学的高次補正項が抑制されるため $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ が成り立つ。

ABSTRACT

We argue that two distinct probes of quantum chaos, i.e., the growth of noncommutativity of two unequal-time operators and the degree of irreversibility in a time-reversal test, are equivalent for initially localized states. We confirm this for interacting nonintegrable many-body systems and a quantum kicked rotor. Our results show that three-point out-of-time-ordered correlators dominate the growth of the squared commutator for initially localized states, in stark contrast to four-point out-of-time-ordered correlators that have extensively been studied for thermal initial states.

研究の動機と目的

• 量子カオスの二つの異なるプローブ、すなわち演算子の非可換性と不可逆性の間の定量的関係を確立すること。
• 量子カオス系において、二乗可換子 $ C_{AB}(t) $ と時間反転による不可逆性 $ I_{AB}(t) $ の関係を解明する未解決の問題を解決すること。
• 初期局在状態においてなぜ3-OTOCが非可換性増大を支配するのかを明確にすること。これは、熱的状態では4-OTOCが支配的であるのと対照的である。
• 局在初期状態における特定の力学的条件下で $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ が成り立つ理論的枠組みを提示し、数値的確認を行うこと。

提案手法

• 二乗可換子 $ C_{AB}(t) $ と不可逆性測定 $ I_{AB}(t) $ の間の一般的関係を導出し、$ \frac{C_{AB}(t)}{I_{AB}(t)} = \left(1 + \alpha_t \sqrt{\frac{D_{AB}(t)}{I_{AB}(t)}}\right)^2 $ を示す。ここで $ \alpha_t $ は時間に依存する因子であり、$ |\alpha_t| \leq 1 $ を満たす。
• 時序相関関数 $ D_{AB}(t) = \langle \hat{B}^\dagger \hat{A}(t)^\dagger \hat{A}(t) \hat{B} \rangle $ を導入・分析し、局在初期状態では $ \frac{D_{AB}(t)}{I_{AB}(t)} \ll 1 $ が成り立つことを示し、これにより $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ の妥当性が裏付けられる。
• 半古典的近似を用いて、$ C_{AB}(t) $ の短時間における指数的増大を分析し、古典的軌道のリャプノフ不安定性と関連付ける。
• 非可積分系の多体系および局在波パッケージを有する量子キックドローターに対して、数値的シミュレーションを実施し、同等性の妥当性を検証する。
• $ D_{AB}(t)/I_{AB}(t) \ll 1 $ の成立条件の妥当性を定量化する $ s_t $ と $ r_t $ を定義・評価し、キックドローター模型において $ t \gtrsim 3 $ で同等性が成立することを確認する。
• $ I_{AB}(t) $ と $ C_{AB}(t) $ の長時間挙動を分析し、キックドローター系では $ I_{AB}(t) \propto t^2 $ であることを示し、これにより $ C_{AB}(t) \propto t^2 $ であることが示唆される。これは半古典的理論では捉えきれない結果である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期局在状態を持つ量子カオス系において、二乗可換子 $ C_{AB}(t) $ の増大が、時間反転テストによる不可逆性 $ I_{AB}(t) $ と定量的に同等であるか？
• RQ2 なぜ局在初期状態では3点時序外オーダー相関関数（3-OTOC）が $ C_{AB}(t) $ の増大を支配するのか？これは、熱的状態では4-OTOCが支配的であるのと対照的である。
• RQ3 どのような力学的条件下で $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ が成り立ち、その条件は $ D_{AB}(t) $ などの時序相関関数を用いてどのように定量化できるか？
• RQ4 非可積分多体系および周期的に駆動される系（例：量子キックドローター）において、非可換性と不可逆性の同等性はどのように現れるか？
• RQ5 長時間における $ C_{AB}(t) $ の挙動、例えば $ \propto t^2 $ のようなものについて、特にエーレンフェスト時間以降においても、半古典的極限で解析的に理解可能か？

主な発見

• 初期局在状態では、二乗可換子 $ C_{AB}(t) $ と不可逆性測定 $ I_{AB}(t) $ が定量的に同等であり、$ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ が成り立つ。これは $ D_{AB}(t)/I_{AB}(t) \ll 1 $ であるため、力学的高次補正項が抑制されるからである。
• 局在初期状態では、$ C_{AB}(t) $ の増大が4-OTOCではなく3-OTOCに支配される。これは、熱的状態では4-OTOCが支配的であるのと対照的である。
• 有効プランク定数 $ \hbar_{\text{eff}} = 2^{-6} $ のキックドローター系において、$ t \gtrsim 3 $ で $ C_{pp}(t) \simeq I_{pp}(t) $ が成り立ち、両者とも漸近的に $ t^2 $ の割合で増大する。これは長時間における非指数的で拡散的挙動を示している。
• 半古典的近似では、エーレンフェスト時間 $ t_E \simeq 4 $ 以前に $ C_{pp}(t) $ が指数的増大を示すと予測される。同等性 $ C_{pp}(t) \simeq I_{pp}(t) $ が成り立つことから、不可逆性の短時間における指数的増大も示唆される。
• 時間発展の $ s_t $、$ r_t $、および $ \sqrt{s_t r_t} $ の振る舞いにより、同等性の妥当性が確認され、$ t \gtrsim 3 $ で $ C_{AB}(t) $ と $ I_{AB}(t) $ の関係における補正項が十分に小さい条件が満たされている。
• 長時間挙動 $ C_{pp}(t) \propto t^2 $ は物理的議論によって解析的に支持され、数値的にも確認されており、標準的な半古典的近似の範囲を超えて成立する。