[論文レビュー] Operator scrambling and quantum chaos

Xiaohong Chen, Tianci Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 42

ひとこと要約

この論文は3つのモデル（混沌的スピン1/2鎖、2-localスピンモデル、修正された量子線形写像）における演算子のスクランブリングを分析し、演算子エンタングルメントエントロピーとスペクトル相関がスクランブリングと量子カオスをどのように示すかを、スクランブリング時間の違いとC(t)の振る舞いとともに示す。

ABSTRACT

Operator scrambling is a crucial ingredient of quantum chaos. Specifically, in the quantum chaotic system, a simple operator can become increasingly complicated under unitary time evolution. This can be diagnosed by various measures such as square of the commutator (out-of-time-ordered correlator), operator entanglement entropy etc. In this paper, we discuss operator scrambling in three representative models: a chaotic spin-$1/2$ chain with spatially local interactions, a 2-local spin model and the quantum linear map. In the first two examples, although the speeds of scrambling are quite different, a simple Pauli spin operator can eventually approach a "highly entangled" operator with operator entanglement entropy taking a volume law value (close to the Page value). Meanwhile, the spectrum of the operator reduced density matrix develops a universal spectral correlation which can be characterized by the Wishart random matrix ensemble. In the second example, we further connect the 2-local model into a one dimensional chain and briefly discuss the operator scrambling there. In contrast, in the quantum linear map, although the square of commutator can increase exponentially with time, a simple operator does not scramble but performs chaotic motion in the operator basis space determined by the classical linear map. We show that once we modify the quantum linear map such that operator can mix in the operator basis, the operator entanglement entropy can grow and eventually saturate to its Page value, thus making it a truly quantum chaotic model.

研究の動機と目的

• 演算子スクランブリングを量子カオスの診断法として動機づけ、定義する。
• 3つの代表的モデル（カオスな局所スピン鎖、2-局所ハミルトニアン、量子線形写像）におけるスクランブリングダイナミクスを探る。
• 演算子エンタングルメントエントロピーと約分密度行列スペクトルによってスクランブリングを特徴づける。
• モデル間でリャプノフ様の成長領域とスクランブリング時間を比較する。
• 演算子基底において普遍的なスペクトル相関がいつどのように現れるかを示す。

提案手法

• ハイゼンベルク演算子の進化とパウリ基底への展開を通して演算子スクランブリングを定義する。
• 演算子の長さ/高さ分布と約分密度行列を用いてスクランブリングを定量化する（演算子EEとエンタングルメントスペクトル）。
• 二乗交換子C(t)を混沌ダイナミクスの診断として解析する。
• 演算子-約分密度行列のスペクトルフォーマットファクターを計算してWishartランダムマトリクス様の相関を検出する。
• 量子線形写像について、演算子空間のカオス的運動を真のスクランブリングと比較し、非線形摂動がどのようにスクランブリングを誘導するかを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的対称性のある系と非局所的相互作用を持つ、異なるカオス的量子系において演算子スクランブリングはどのように現れるか？
• RQ2 演算子エンタングルメントエントロピーとスペクトル相関は、モデル間でスクランブリングとカオスを診断する際にどのような役割を果たすか？
• RQ3 量子線形写像は真のスクランブリングを示せるか、摂動はこの挙動にどう影響するか？
• RQ4 各モデルの特徴的なスクランブリング時間と、それが系のサイズや写像パラメータにどう依存するか？
• RQ5 スクランブリングが進むにつれて演算子スペクトルに現れるWishart系統の署名（ランダムマトリクス理論の兆候）はどう出現するか？

主な発見

Lyapunov regime	Scrambling time	Spectral correlation
spin-½ chain with local interaction	Nonexistent	L/v_B
2-local Hamiltonian	Δt log N	Δt log N
modified quantum linear map	log K / λ_+	f(κ) log K

• 混沌的スピン-1/2鎖では、局所的なパウリ演算子が非局所的に成長し、スクランブリング時間は系のサイズに比例する（指数的なC(t)領域は存在しない）。
• 2-localハミルトニアンではスクランブリングは高速で、スクランブリング時間はlog Nにスケールし、初期時刻領域でC(t)は指数的に増加する；演算子EEはPage値に近づき、スペクトル相関はWishart系統を介して出現する。
• 量子線形写像では、C(t)は古典的カオスにより指数的に増加することがあるが、非線形摂動を加えない限り演算子空間のスクランブリングは起こらない。その後演算子EEはPage値に飽和し、スペクトル相関が現れる；スクランブリング時間は関数f(κ) log Kに比例してスケールする。
• サブシステムで全スクランブリングが起こるのとともに、演算子約分密度行列における普遍的なスペクトル相関（スペクトルフォーマットファクターを介して）が出現する。
• 一次元拡張とFisher/Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov動力学は、空間における演算子の成長に移動波の振る舞いを示唆し、拡張系のスクランブリングと平行する。