[論文レビュー] Operators having selfadjoint squares

Zoltán Sebestyén, Zsigmond Tarcsay|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、実または複素ヒルバート空間上の対称作用素 $A$ が自己共役であるための必要十分条件として、$I + A^2$ が全射（つまり、全域をとる）であること、すなわち、$A$ が稠密に定義されていると仮定しなくても成り立つことを確立している。この結果は、ヴォイナッチの古典的定理を一般化し、稠密な定義域や複素ヒルバート空間の仮定を不要にした。代わりに、$I + A^2$ の像の性質を用いて自己共役性を特徴づけている。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to show that a (not necessarily densely defined or closed) symmetric operator $A$ acting on a real or complex Hilbert space is selfadjoint exactly when $I+A^2$ is a full range operator.

研究の動機と目的

• 作用素 $A$ が稠密に定義されていることやヒルバート空間が複素数であることを仮定しない自己共役対称作用素の特徴づけを提供すること。
• ヴォイナッチの古典的結果（$I + T^*T$ や欠損指数）を、より広いクラスの対称作用素に拡張すること。
• 対称作用素 $A$ が自己共役であるための必要十分条件として、$I + A^2$ が全射であることの確立。
• 稠密な定義域の仮定を事前に必要とせず、$I + A^2$ の全射性からその稠密性が導かれるという事実を示すこと。
• 対称作用素と反対称作用素の自己共役性の特徴づけを、$I \pm A^2$ の像の性質を用いて統一すること。

提案手法

• 作用素 $T$ が稠密に定義され閉作用素であるとき、$I + T^*T$ が自己共役かつ全射であるというヴォイナッチの古典的定理の利用。
• 複素ヒルバート空間における全射性の解析に、$I + A^2 = (A + iI)(A - iI)$ のような因数分解の使用。
• 背理法と直交性の議論を用いて、$I + A^2$ が全射ならば $ \operatorname{dom}A$ が稠密でなければならないことを示す。
• 閉作用素 $T$ に対して $ \operatorname{dom}T^{**} + \operatorname{ran}T^* = \mathfrak{H}$ が成り立つという恒等式を用いて、像と随伴作用素を関連づける。
• $y = x - T^*z$, $0 = Tx + z$ の分解を用いて、$T$ が閉作用素のとき $ \operatorname{ran}(I + T^*T) = \mathfrak{H}$ を示す。
• 定義域と随伴作用素の包含関係を用いて、自己共役性と $I + A^2$ が全域をとることの同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称作用素の自己共役性は、稠密な定義域を仮定せずに特徴づけられるか？
• RQ2 複素または実ヒルバート空間において、$I + A^2$ が全射ならば、$A$ は自己共役になるか？
• RQ3 作用素 $A$ が事前に稠密に定義されていると仮定しなくても、$ \operatorname{ran}(I + A^2) = \mathfrak{H}$ が自己共役性の十分条件となるか？
• RQ4 反対称作用素に対しても、$I - A^2$ を用いて特徴づけを拡張できるか？
• RQ5 $I + A^2$ の像と随伴作用素の定義域 $ \operatorname{dom}A^*$ の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 実または複素ヒルバート空間上の対称作用素 $A$ が自己共役であるための必要十分条件は、$I + A^2$ が全射であることである。
• $I + A^2$ が全射ならば、$A$ は稠密に定義されていることが保証され、事前に仮定しなくてもよい。
• ヒルバート空間が実数か複素数かにかかわらず同様に成り立つため、欠損指数論の必要性が排除される。
• 反対称作用素について、$A$ が反自己共役であるための必要十分条件は、$I - A^2$ が全射であることである。
• $L^2(X, \mu)$ 上の実可測関数による乗算作用素は、$I + A^2$ が全射であるため、自己共役である。
• 任意の稠密に定義され閉作用素 $T$ に対して、$T^*T$ が自己共役であるための必要十分条件は、$ \operatorname{ran}(I + T^*T) = \mathfrak{H}$ が成り立つことである。