[論文レビュー] Operators near completely polynomially dominated ones and similarity problems

Cătălin Badea|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2001

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、完全多項式的支配を受ける演算子に近い演算子—β-2次近接という概念のもとで—、元の演算子と重み付き右シフトの直和によって支配される演算子に類似していることを確立する。主な貢献は、パウルゼンの研究を拡張し、CAR値をとるフォーゲル・ハンケル演算子に関する問題の部分的解決を図る、洗練された類似基準の確立である。

ABSTRACT

Let T and C be two Hilbert space operators. We prove that if T is near, in a certain sense, to an operator completely polynomially dominated with a finite bound by C, then T is similar to an operator which is completely polynomially dominated by the direct sum of C and a suitable weighted unilateral shift. Among the applications, a refined Banach space version of Rota similarity theorem is given and partial answers to a problem of K. Davidson and V. Paulsen are obtained. The latter problem concerns CAR-valued Foguel-Hankel operators which are generalizations of the operator considered by G. Pisier in his example of a polynomial bounded operator not similar to a contraction.

研究の動機と目的

• 完全多項式的支配を受ける演算子に近い演算子が、元の演算子と重み付き右シフトの直和によって支配される演算子に類似するかどうかを調査すること。
• スペクトル半径が1未塔のバナッハ空間上の演算子に対して、ロータの類似定理の洗練されたバージョンを提供すること。
• K. デイヴィッドソンとV. パウルゼンが提起した、CAR値をとるフォーゲル・ハンケル演算子が収縮演算子に類似するかどうかという予想に取り組むこと。
• パウルゼンの完全多項式的有界性に基づく類似基準を、より広いクラスの近接演算子へと拡張すること。
• 漸近的近接性のもとでの等長写像／ユニタリ演算子への類似性の安定性を確立し、多項式有界性のみでは類似性が成立しない場合の分析を行うこと。

提案手法

• ヒルバート空間上の演算子 T と C 間の β-2次近接という概念を導入し、差 T^n - V₁C^nV₂ のノルムを制御する列 β(n) を用いて定義する。
• 各 x について x = Σ T^k x_k なる分解の下での下界をとる形式で定義される重み付きノルム |x| を用いて、新たなバナッハ空間構造を構築する。
• コーシー・シュワルツの不等式と演算子ノルムの推定を用いて、T と C ⊕ S_w(β) によって支配される演算子との類似定数を評価する。
• 主要な類似結果（定理3.3）を、T^k - V₁C^kV₂ のノルムと重み列 β に依存する主要な技術的推定（定理4.1）に還元する。
• 随伴演算子とスペクトル半径の制御を用いて、漸近的に近接する等長写像／ユニタリ演算子が、実際に等長写像／ユニタリ演算子に類似することを示す。
• ℓ_p(X) 上の商ノルム構成を用いて X 上の新たなノルムを定義し、バナッハ空間版のロータ型定理の証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 演算子 T が完全多項式的支配を受ける演算子 C に近接する場合、T が収縮演算子に類似する条件は何か？
• RQ2 デイヴィッドソンとパウルゼンが提起したように、CAR値をとるフォーゲル・ハンケル演算子に対して、収縮演算子への類似性はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 収縮演算子への類似性のクラスは、β-2次近接性のもとで安定的か？
• RQ4 等長写像／ユニタリ演算子に漸近的に近接することは、実際に等長写像／ユニタリ演算子に類似することを意味するか？
• RQ5 重み付きノルムと重み付きシフトとの直和を用いて、バナッハ空間上でのロータの定理が、収縮への類似性に関して一般化可能か？

主な発見

• 完全多項式的支配を受ける演算子 C に β-2次近接する演算子 T は、C ⊕ S_w(β) によって完全多項式的支配を受ける演算子に類似する。ここで S_w(β) は重み付き右シフトである。
• 類似定数は [||V₁||²/γ² + s²]^{1/2} [γ²||V₂||² + β(0)²]^{1/2} で有界であり、s ≠ 0 のとき γ は [β(0)||V₁*|| / (s||V₂||)]^{1/2} として選ばれる。
• s = 0 のとき、T は C によって完全多項式的支配を受けており、有界係数は ||V₁||·||V₂|| であり、類似定数は ||V₁||·||V₂|| で有界である。
• 漸近的に近接する等長写像は等長写像に類似する。漸近的に近接するユニタリ演算子はユニタリ演算子に類似するが、多項式有界な演算子が収縮に近接しても、類似性が保証されない場合がある。
• バナッハ空間版のロータの定理が証明された：p > 1 かつ X 上の T がスペクトル半径 < 1 を満たすとき、T は ℓ_p(X) と同型な空間上の演算子 T₁ に類似し、T₁ は ℓ_p(X) 上の右シフトによって完全多項式的支配を受ける。
• 本稿では、CAR値をとるフォーゲル・ハンケル演算子が収縮に類似するための十分条件を提供し、デイヴィッドソン＝パウルゼン問題の部分的解決を達成した。