[論文レビュー] Optical conductivity for the surface of a Topological Insulator

D. Schmeltzer, K. Ziegler|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

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ひとこと要約

本稿では、有限の化学ポテンシャルと不純物を伴うWeylハミルトニアンモデルを用いて、トポロジカル絶縁体の表面における光学的伝導度を計算している。時間反転対称性がチャーミカル表面状態を保護するため、単粒子グリーン関数法は有効である。主な結果は、低温における普遍的光学的伝導度 σ(Ω > 2μ) = e²π/(8h) であり、有限の不純物と有限の平均自由行程を伴う場合、低周波数領域では Drude 形式 σ(Ω < 2|μ|) = (e²/2h)(k_F l_el)/[(Ωτ)² + 1] をとる。

ABSTRACT

The optical conductivity for the surface excitations for a Topological Insulator as a function of the chemical potential and disorder is considered. Due to the time reversal symmetry the chiral metallic surface states are protected against disorder. This allow to use the averaged single particle Green's function to compute the optical conductivity. We compute the conductivity in the limit of a finite disorder. We find that the conductivity as a function of the chemical potential $μ$ and frequency $Ω$ is given by the universal value $σ(Ω&gt;2μ)= \frac{e^2 π}{8h}$. For frequencies $Ω&lt; μ$ and elastic mean free path $l_{el}=vτ$ which obey $k_{F}l&gt;1$ we obtain the conductivity is given by $σ(Ω&lt;2|μ|)=\frac{e^2}{2h}\frac{k_{F}l_{el}}{(Ωτ)^2+1}$. In the limit of zero disorder we find $σ(μ eq0,Ω, k_{F}l ightarrow \infty)=\frac{e^2 π}{2h}|μ|δ(Ω)$.

研究の動機と目的

• 有限の化学ポテンシャルおよび不純物下におけるトポロジカル絶縁体表面状態の光学的伝導度を計算すること。
• 時間反転対称性およびトポロジカル保護が電子輸送および伝導度に与える影響を調査すること。
• 不純物および弾性散乱が、特に Drude 帯および普遍的領域において光学的応答をどのように変化させるかを特定すること。
• バックスキャッタリングに対するトポロジカル保護のおかげで、単粒子グリーン関数法の有効性を確立すること。
• クリーン限界と不純物がある限界を比較し、特に普遍的伝導度および有限周波数応答の文脈で検討すること。

提案手法

• 線形分散およびスピン軌道結合を有するWeylハミルトニアンを用いて、トポロジカル絶縁体の表面状態をモデル化すること。
• δ関数相関を持つ白色ノイズ散乱ポテンシャル U_sc(r) を導入し、有限の化学ポテンシャル μ を設定すること。
• 不純物が存在する状況下での粒子およびホール（反粒子）の単粒子グリーン関数を構築すること。
• Keldysh形式を用いて、グリーン関数から導かれるスペクトル関数 A± および B± から伝導度を計算すること。
• Kubo公式を適用し、粒子-粒子、粒子-反粒子、反粒子-反粒子チャネルを含む電流-電流相関関数の和として伝導度を表現すること。
• クリーン限界（μ → 0）、有限 μ のクリーン限界、および有限不純物と有限散乱時間 τ を伴う状況の3つの領域で伝導度を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリーン限界において、高周波数（Ω > 2μ）でのトポロジカル絶縁体表面の普遍的光学的伝導度は何か？
• RQ2 弱い不純物が存在する場合、周波数および化学ポテンシャルに応じて光学的伝導度はどのように変化するか？
• RQ3 弾性平均自由行程 l_el = vτ が、低周波数における Drude 帯のピークを決定づける役割を果たすか？
• RQ4 μ ≈ 0 および Ω = 0 のとき、伝導度がクリーン限界と異なるのはなぜか？また、不純物はこの状況にどのように影響するか？
• RQ5 時間反転対称性（ϑ² = -1）およびトポロジカル保護が、不純物系において単粒子近似を正当化する理由は何か？

主な発見

• クリーン限界および Ω > 2μ の場合、絶対零度において光学的伝導度は普遍的値 σ(Ω > 2μ) = e²π/(8h) に達する。
• 有限の化学ポテンシャル μ ≠ 0 およびクリーン限界では、伝導度は Ω = 0 に δ関数ピークを示す：σ(μ ≠ 0, Ω, k_F l → ∞) = (e²π/2h)|μ|δ(Ω)。
• 有限の不純物および Ω < 2|μ| の場合、伝導度は Drude 形式に従う：σ(Ω < 2|μ|) = (e²/2h)(k_F l_el)/[(Ωτ)² + 1]、ただし l_el = vτ。
• Drude 表式における係数 1/2 は、表面状態のスピンター構造を反映する頂点関数 cos²χ(k) の角度依存性に起因する。
• ラダーレイコントリビューションを含めた場合、Drude 公式における l_el の代わりに輸送平均自由行程 l_tr > l_el が使用されることが予想される。
• μ ≈ 0 および Ω = 0 のとき、自己無撞着計算により σ ≈ e²/(πh) が得られ、これは有限 μ の場合の普遍的値よりも大きい。これは輸送挙動におけるクロスオーバーを示している。