[論文レビュー] Optimal accessing and non-accessing structures for graph protocols

Sylvain Gravier, Jérôme Javelle+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2011

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフにおける最適アクセス集合および非アクセス集合を導入・分析し、量子秘密分散（QSS）プロトコルにおけるしきい値セキュリティを決定する重要なパラメータ 𝜅(G) と 𝜅′(G) を定義する。これらのパラメータに関するタイトな境界を確立し、NP完全性を証明するとともに、特に正則グラフに完全コードを備えたグラフ族が (n, n−√n) に近い最適なQSSしきい値を達成することを示す。

ABSTRACT

An accessing set in a graph is a subset B of vertices such that there exists D subset of B, such that each vertex of V\B has an even number of neighbors in D. In this paper, we introduce new bounds on the minimal size kappa'(G) of an accessing set, and on the maximal size kappa(G) of a non-accessing set of a graph G. We show strong connections with perfect codes and give explicitly kappa(G) and kappa'(G) for several families of graphs. Finally, we show that the corresponding decision problems are NP-Complete.

研究の動機と目的

• 無向グラフにおける最小アクセス集合サイズ 𝜅′(G) および最大非アクセス集合サイズ 𝜅(G) の定義と分析。
• これらのグラフパラメータと量子秘密分散（QSS）プロトコルとの強い関連性の確立。
• 正則および合成グラフ族に対して、特に 𝜅(G) と 𝜅′(G) のタイトな解析的境界の導出。
• QSSしきい値パラメータ 𝜅_Q(G) に関連する決定問題のNP完全性の証明。

提案手法

• ある部分集合 D ⊆ B が |D| が奇数であるようなアクセス集合 B ⊆ V(G) を定義し、Odd(D) を D の奇数近傍と定義する。
• 𝜅(G) を非アクセス集合の最大サイズ、𝜅′(G) をアクセス集合の最小サイズとして定義する。
• グラフの補グラフと双対性を用いて 𝜅′(G) を 𝜅(Ḡ) と関連づけ、次数および符号構造を用いた境界の導出を可能にする。
• 完全コード問題からの還元を適用し、𝜅′(G) および 𝜅_Q(G) 関連の決定問題のNP完全性を証明する。
• G^r と表される r 重コピーのようなグラフ族を分析し、𝜫(G^r) = r·𝜫(G) および 𝜫′(G^r) = 𝜫′(G) を示す。
• 下界の導出：𝜫′(G) ≥ n / (n − δ) であり、等号成立は補グラフに奇数サイズの完全コードが存在する場合に限る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフにおける最小アクセス集合サイズ（𝜫′(G)）および最大非アクセス集合サイズ（𝜫(G)）のタイトな境界は何か？
• RQ2 これらのパラメータは、特にしきい値セキュリティを決定する上で、量子秘密分散（QSS）プロトコルとどのように関連するか？
• RQ3 正則グラフや r 重コピーなどの特定のグラフ族が、近似的に最適なQSSしきい値を達成できるか？
• RQ4 𝜫′(G) ≤ k であるかどうかを決定する決定問題はNP完全か？
• RQ5 QSSしきい値パラメータ 𝜫_Q(G) ≤ k であるかどうかを決定する問題の計算複雑性は何か？

主な発見

• 任意のグラフ G に対して、𝜫′(G) ≥ n / (n − δ) が成り立ち、δ は最小次数であり、等号成立は補グラフに奇数サイズの完全コードが存在する場合に限る。
• グラフ G の r 重コピー G^r に対して、𝜫(G^r) = r·𝜫(G) および 𝜫′(G^r) = 𝜫′(G) が成り立ち、スケーラブルな構成が可能になる。
• QSSしきい値パラメータ 𝜫_Q(G) = max(𝜫(G), n − 𝜫′(G)) は、正則グラフに完全コードを備えた特定のグラフ族において (n, n − √n) のしきい値を達成する。
• 決定問題 KAPPA′_≤ および KAPPA_Q はNP完全であり、KAPPA′_≥ は完全性の観点からco-NP完全である。これは完全コード問題からの還元により証明される。
• 補グラフの完全コード構造が、𝜫′(G) の下界がタイトになる条件を直接決定する。
• 局所補グラフ変換による最小次数が k を超えるかどうかを判定する問題は未解決のままであるが、𝜫′(G) と密接に関連している。