[論文レビュー] Optimal actuator design for vibration control based on LQR performance and shape calculus

M. Sajjad Edalatzadeh, Dante Kalise+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Topology Optimization in Engineering参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形二次調節器（LQR）性能指標とトポロジカル微分を用いて、Euler-Bernoulli梁における振動制御のためのアクチュエータ設計を最適化する形状微分に基づく手法を提案する。最適アクチュエータ形状をLQRコストのトポロジカル微分の静止点として定式化し、数値実装にはレベルセット法を採用することで、コストを1000倍低減し、Kelvin-Voigt減衰を伴う安定したマルチコンポonent形状に収束することを達成した。

ABSTRACT

Optimal actuator design for a vibration control problem is calculated. The actuator shape is optimized according to the closed-loop performance of the resulting linear-quadratic regulator and a penalty on the actuator size. The optimal actuator shape is found by means of shape calculus and a topological derivative of the linear-quadratic regulator (LQR) performance index. An abstract framework is proposed based on the theory for infinite-dimensional optimization of both the actuator shape and the associated control problem. A numerical realization of the optimality condition is presented for the actuator shape using a level-set method for topological derivatives. A Numerical example illustrating the design of actuator for Euler-Bernoulli beam model is provided.

研究の動機と目的

• 閉ループLQR性能に基づく分散パラメータ系における最適アクチュエータ形状設計のための体系的フレームワークの構築。
• アクチュエータ配置最適化を超える、最適アクチュエータ形状設計の理論的・数値的手法の不足を解消すること。
• 形状依存制御作用素を有する線形進化方程式に対する抽象的最適制御問題の適切な定式化を保証すること。
• 空間的および時間的離散化に関して、最適アクチュエータ形状が収束する条件を確立すること。
• 粘性減衰およびKelvin-Voigt減衰を有する線形Euler-Bernoulli梁モデルにおいて、手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 適切な制御入力uおよびアクチュエータ形状rの下で、LQRコスト関数J(u,r;z₀)の最小化として最適アクチュエータ設計を定式化する。
• 小さな穴の挿入または削除に対する感度として、最適アクチュエータ形状を特徴付けるLQRコスト関数のトポロジカル微分を導入する。
• トポロジカル微分を用いてアクチュエータ形状の必要十分条件を導出し、レベルセット関数における符号条件を導出する。
• 符号距離関数を用いたレベルセット法により、境界を進化させ、トポロジカル微分勾配に基づいて形状を更新する。
• 局所最適解を回避し収束を保証するため、ペナルティパラメータαに関するラインサーチおよび継続戦略を実装する。
• ビーム動的特性を最初のN=40固有モードで離散化し、得られたリカッチ方程式を解いてカルマンゲインおよびコスト関数を数値的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形分散パラメータ系における最適アクチュエータ形状は、LQRコスト関数のトポロジカル微分を用いて特徴付け可能か？
• RQ2 Kelvin-Voigt減衰を含めると、空間離散化に関して最適アクチュエータ形状の収束にどのような影響を与えるか？
• RQ3 トポロジカル微分に基づく最適性条件を有するレベルセット法は、安定したマルチコンポonent形状のアクチュエータを得られるか？
• RQ4 アクチュエータサイズ制約および制御ペナルティの影響は、最適アクチュエータの収束性および性能にどのような影響を及えるか？
• RQ5 本手法は非線形な柔軟構造へと拡張可能か？また、構造的減衰が存在しない場合の制限は何か？

主な発見

• 提案手法は70反復でLQRコスト関数J₁,Nを1000倍低減し、顕著な性能向上を示した。
• 最適アクチュエータ形状は、初期条件の節点構造（sin(3πx)）と整合する安定した2コンポonent配置に収束した。
• 粘性減衰およびKelvin-Voigt減衰を両方有する状況では、離散化モード数を増やすに従い、カルマンゲインおよび最適アクチュエータ形状が収束した。
• Kelvin-Voigt減衰がない場合（Cd=0）には、カルマンゲインは収束せず、高次モード近似において最適アクチュエータ形状がさらに多くのコンポonentに分裂し続けた。
• ラインサーチおよびαに関する継続戦略を有するレベルセットアルゴリズムは、局所最適解を効果的に回避し、コストの単調減少を保証した。
• 最適アクチュエータを用いた閉ループ性能は、同等サイズの単一コンポonentの局所最適アクチュエータと比較して、より優れた状態抑制および低い制御努力を達成した。