[論文レビュー] Optimal Acyclic Hamiltonian Path Completion for Outerplanar Triangulated st-Digraphs (with Application to Upward Topological Book Embeddings)

Tamara Mchedlidze, Antonios Symvonis|ArXiv.org|Jul 15, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、外部平面な三角形分割されたst有向グラフにおける、サイクルのないハミルトンパス完成問題に伴うエッジ交差数を最小化する線形時間アルゴリズムを提示する。各エッジに対して最大で1つの交差を達成する。本問題と上向き2ページトップロジカルブック埋め込み（スパイン交差数最小化）との間で同値性を確立し、最適なスパイン交差数最小化を可能にし、このクラスの有向グラフに対する初めての同様のアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

Given an embedded planar acyclic digraph G, we define the problem of "acyclic hamiltonian path completion with crossing minimization (Acyclic-HPCCM)" to be the problem of determining an hamiltonian path completion set of edges such that, when these edges are embedded on G, they create the smallest possible number of edge crossings and turn G to a hamiltonian digraph. Our results include: --We provide a characterization under which a triangulated st-digraph G is hamiltonian. --For an outerplanar triangulated st-digraph G, we define the st-polygon decomposition of G and, based on its properties, we develop a linear-time algorithm that solves the Acyclic-HPCCM problem with at most one crossing per edge of G. --For the class of st-planar digraphs, we establish an equivalence between the Acyclic-HPCCM problem and the problem of determining an upward 2-page topological book embedding with minimum number of spine crossings. We infer (based on this equivalence) for the class of outerplanar triangulated st-digraphs an upward topological 2-page book embedding with minimum number of spine crossings and at most one spine crossing per edge. To the best of our knowledge, it is the first time that edge-crossing minimization is studied in conjunction with the acyclic hamiltonian completion problem and the first time that an optimal algorithm with respect to spine crossing minimization is presented for upward topological book embeddings.

研究の動機と目的

• 平面に埋め込まれたサイクルのない有向グラフにおける、エッジ交差数最小化を伴うサイクルのないハミルトンパス完成問題に対処すること。
• ハミルトンパスを許容する三角形分割されたst有向グラフを特定すること。
• 外部平面な三角形分割されたst有向グラフに対して、各エッジあたり最大1つの交差を達成する線形時間アルゴリズムを開発すること。
• サイクルのないHPCCM問題と、最小スパイン交差数を持つ上向き2ページトップロジカルブック埋め込みとの間の同値性を確立すること。
• 外部平面な三角形分割されたst有向グラフに対する、スパイン交差数最小化のための最初の最適アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 外部平面な三角形分割されたst有向グラフにおけるst多角形分割を導入し、計算の効率化に寄与する構造的性質を活用すること。
• st多角形分割を活用して、各エッジあたり最大1つの交差を達成する線形時間アルゴリズムを設計し、サイクルのないHP完成集合を計算すること。
• サイクルのないHPCCM問題と、最小スパイン交差数を持つ上向き2ページトップロジカルブック埋め込み問題との間の同値性を証明すること。
• HP完了グラフからブック埋め込みを構築し、頂点をスパイン上に配置し、エッジをページを跨いでルーティングする。スパイン交差は、HP完了グラフにおけるエッジ交差に対応する。
• スパインに沿ったトップロジカル順序を維持し、エッジの方向を単調に保つことで、ブック埋め込みの上向き性を確保すること。
• 背理法により、結果のグラフがサイクルを含まないことを検証する。サイクルが存在するならば、下向きエッジを含む必要があり、これはブック埋め込みの上向き性に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で三角形分割されたst有向グラフがハミルトン的となるか？
• RQ2 外部平面な三角形分割されたst有向グラフにおいて、エッジ交差数最小化を伴うサイクルのないハミルトンパス完成問題を線形時間で最適に解けるか？
• RQ3 サイクルのないHPCCM問題と、最小スパイン交差数を持つ上向き2ページトップロジカルブック埋め込み問題との間に構造的同値性があるか？
• RQ4 外部平面な三角形分割されたst有向グラフにおいて、上向き2ページブック埋め込みのスパイン交差数を最適に最小化できるか？
• RQ5 このような埋め込みにおける1エッジあたりの最小交差数は何か？また、その値は有界にできるか？

主な発見

• 三角形分割されたst有向グラフがハミルトン的となる条件についての特徴付けが提供された。
• 外部平面な三角形分割されたst有向グラフにおいて、各エッジあたり最大1つの交差を達成する線形時間アルゴリズムにより、Acyclic-HPCCM問題が解ける。
• Acyclic-HPCCM問題と、最小スパイン交差数を持つ上向き2ページトップロジカルブック埋め込み問題との間で同値性が確立された。
• アルゴリズムにより、最小スパイン交差数かつ各エッジあたり最大1つのスパイン交差を達成する上向き2ページトップロジカルブック埋め込みが得られる。
• 提案されたアルゴリズムは、スパイン交差数最小化に関して最適であり、著者らの知る限り、このクラスの有向グラフに対する最初の同様のアルゴリズムである。
• 本手法により、交差数最適なHP完了集合が得られ、図18は、1エッジあたりの交差数が高かろうが、総合的な交差数が少ない完成集合が存在することを示している。