[論文レビュー] Optimal Algorithms for Learning Quantum Phase States

Srinivasan Arunachalam, Sergey Bravyi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、次数-dのブール多項式に関連するn-キュービット量子位相状態を学習するための最適アルゴリズムを提示する。測定の種別に応じて、分離測定ではサンプル複雑性がΘ(nd)、エンタングルド測定ではΘ(nd−1)であることを示した。提案されたアルゴリズムは、単一キュービットのパウリXおよびZ基底測定のみを用いるため、近い将来の量子優位性の実証や、クリフォード階層内の対角ユニタリやIQP回路の効率的学習が可能である。

ABSTRACT

We analyze the complexity of learning $n$-qubit quantum phase states. A degree-$d$ phase state is defined as a superposition of all $2^n$ basis vectors $x$ with amplitudes proportional to $(-1)^{f(x)}$, where $f$ is a degree-$d$ Boolean polynomial over $n$ variables. We show that the sample complexity of learning an unknown degree-$d$ phase state is $Θ(n^d)$ if we allow separable measurements and $Θ(n^{d-1})$ if we allow entangled measurements. Our learning algorithm based on separable measurements has runtime $ extsf{poly}(n)$ (for constant $d$) and is well-suited for near-term demonstrations as it requires only single-qubit measurements in the Pauli $X$ and $Z$ bases. We show similar bounds on the sample complexity for learning generalized phase states with complex-valued amplitudes. We further consider learning phase states when $f$ has sparsity-$s$, degree-$d$ in its $\mathbb{F}_2$ representation (with sample complexity $O(2^d sn)$), $f$ has Fourier-degree-$t$ (with sample complexity $O(2^{2t})$), and learning quadratic phase states with $\varepsilon$-global depolarizing noise (with sample complexity $O(n^{1+\varepsilon})$). These learning algorithms give us a procedure to learn the diagonal unitaries of the Clifford hierarchy and IQP~circuits.

研究の動機と目的

• 次数-dのブール多項式によって定義されるn-キュービット位相状態を学習するための最適サンプル複雑性を特定すること。
• 近い将来の量子デバイスに適した、単一キュービット測定のみを用いた効率的学習プロトコルの開発。
• 複素数値の振幅を持つ一般化位相状態およびノイズあり・スパースなインスタンスへの学習プロトコルの拡張。
• 位相状態トモグラフィーを用いて、クリフォード階層内の対角ユニタリおよびIQP回路の学習を可能にすること。
• スパarsityやノイズを含むさまざまな設定において、サンプル複雑性のタイトな上限および下限を確立すること。

提案手法

• 各測定が位相状態の1つのコピーに対して独立に行われる分離測定の使用—近い将来の実装に適した効率的プロトコルを可能にする。
• 次数-dの多項式f(x)のF2表現を活用し、GF(2)上でのフーリエ解析により位相状態を再構築する。
• 多変数分解および多項式再構築技術を用いて、測定統計からf(x)の単項式を同定する。
• エンタングルド測定の場合は、複数のコピーに対する共同測定を用いて高次の相関を抽出し、サンプル複雑性を低減する。
• 制御位相ゲートと対角ユニタリ合成を用いて、学習済みの多項式から回路表現を再構築する。
• 一般化位相状態（q乗根の単位根を用いる）およびノイズあり・スパースな多項式に対応するため、学習フレームワークを修正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離測定を用いた次数-d位相状態の学習における最適サンプル複雑性は何か？
• RQ2 エンタングルド測定が許可された場合、サンプル複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 学習プロトコルは、複素数振幅および高次のクリフォード階層ユニタリを持つ一般化位相状態へ拡張可能か？
• RQ4 位相多項式fがスパースであるか、低フーリエ次数を持つ場合、サンプル複雑性は何か？
• RQ5 グローバルまたはローカルのデポラライジングノイズが、位相状態学習のサンプル複雑性に与える影響は何か？

主な発見

• 分離測定を用いた次数-dのバイナリ位相状態の学習におけるサンプル複雑性はΘ(nd)であり、定数dに対して実行時間はpoly(n)である。
• エンタングルド測定を用いることで、サンプル複雑性はΘ(nd−1)に低下し、d ≥ 2のとき最適スケーリングを達成する。
• q = 2dの一般化位相状態では、分離測定を用いてもサンプル複雑性は依然としてΘ(nd)のままであり、実行時間はnd log qの指数的増加を示す。
• fがスパース度-sかつ次数-dの場合、サンプル複雑性はO(2dsn)となる。これは、低スパース多項式の効率的学習を可能にする。
• グローバルデポラライジングノイズεの下での二次位相状態では、サンプル複雑性はO(n1+ε)にスケーリングされ、ノイズに対して頑健であることが示された。
• これらの結果により、位相状態トモグラフィーを用いて、d番目のクリフォード階層レベルの対角ユニタリおよびIQP回路の効率的学習が可能になった。