[論文レビュー] Optimal Algorithms for Right-Sizing Data Centers- Extended Version

Susanne Albers, Jens Quedenfeld|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、サーバー数が整数値でなければならない離散的データセンターライツサイズ問題に対する、初めての多項式時間アルゴリズムを提示し、オンラインアルゴリズムのタイトな競合比を確立する。離散的ラジオキャパシティプロビジョニング（LCP）アルゴリズムが3-competitiveであり、最適であることを証明し、ランダム化されたオンラインアルゴリズムを2-competitiveで導入する。両者とも下界に一致し、離散的設定における未解決の問題を解決する。

ABSTRACT

Electricity cost is a dominant and rapidly growing expense in data centers. Unfortunately, much of the consumed energy is wasted because servers are idle for extended periods of time. We study a capacity management problem that dynamically right-sizes a data center, matching the number of active servers with the varying demand for computing capacity. We resort to a data-center optimization problem introduced by Lin, Wierman, Andrew and Thereska that, over a time horizon, minimizes a combined objective function consisting of operating cost, modeled by a sequence of convex functions, and server switching cost. All prior work addresses a continuous setting in which the number of active servers, at any time, may take a fractional value. In this paper, we investigate for the first time the discrete data-center optimization problem where the number of active servers, at any time, must be integer valued. Thereby we seek truly feasible solutions. First, we show that the offline problem can be solved in polynomial time. Second, we study the online problem and extend the algorithm {\em Lazy Capacity Provisioning\/} (LCP) by Lin et al. to the discrete setting. We prove that LCP is 3-competitive. Moreover, we show that no deterministic online algorithm can achieve a competitive ratio smaller than~3. In addition, we develop a randomized online algorithm that is 2-competitive against an oblivious adversary. Moreover, we prove that 2 is a lower bound for the competitive ratio of randomized online algorithms, so our algorithm is optimal. Finally, we address the continuous setting and give a lower bound of~2 on the best competitiveness of online algorithms. This matches an upper bound by Bansal et al. We prove that all lower bounds still hold in a problem variant with more restricted operating cost functions, introduced by Lin et al.

研究の動機と目的

• 整数サーバー数を要件とする離散的データセンターオプティマイゼーションにおけるギャップを埋め、真に実行可能な解を保証する。
• 離散的ライツサイズ問題に対して、最適なオフラインおよびオンラインアルゴリズムが存在するかを同定する。
• 離散的設定におけるオンラインアルゴリズムのタイトな競合比を確立し、既知の下界に一致させる。
• 従来の連続的設定での結果を離散的ケースに拡張し、この新しい文脈において既存のアルゴリズムの最適性を証明する。
• ワークロード依存のコスト関数を伴う制限付きモデルを分析し、下界を導出する。

提案手法

• 時間ステップとサーバー数を表すためのレイヤードグラフを用いた、新しいグラフ理論的モデルを提案。これにより、実行可能なスケジュールに対するバイナリサーチが可能になる。
• 各時間ステップにおける整数サーバー数を状態として表すレイヤードグラフ上でバイナリサーチを実行する多項式時間オフラインアルゴリズムを開発する。
• LCPアルゴリズムを離散的設定に拡張し、3-competitive比を達成することを証明する。これは既知の下界に一致する。
• 連続的解のランダム化ラウンディングに基づくランダム化オンラインアルゴリズムを設計し、無知な敵に対する2-competitive比を達成する。
• 問題インスタンスΨₗ(Q)とΦₖ(Q)を用いた再帰的スケーリング技術により、オフラインアルゴリズムで段階的に解を精錬する。
• 双対適合論法とコスト分解を用いて競合比を証明し、凸性とスイッチングコスト構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数サーバー数を要件とする離散的データセンターライツサイズ問題は、多項式時間で最適に解けるか？
• RQ2 離散的LCPアルゴリズムは、競合比の観点で最適であり、既知の下界3に一致するか？
• RQ3 ランダム化オンラインアルゴリズムは、離 discrete 設定で2-competitive比を達成可能であり、これが最適か？
• RQ4 決定的およびランダム化アルゴリズムの下界3および2は、ワークロード依存コスト関数を伴うより制限されたモデルでも成立するか？
• RQ5 離 discrete 設定におけるオンラインアルゴリズムの達成可能な最良の競合比は何か？ そして、それが構成的アルゴリズムによって達成可能か？

主な発見

• レイヤードグラフとバイナリサーチを用いることで、整数サーバー数を満たす最適解を提供する、多項式時間のオフライン離散的ライツサイズ問題の解法が可能である。
• 離 discrete LCPアルゴリズムは3-competitiveであり、最適である。なぜなら、より良い競合比を達成できる決定的オンラインアルゴリズムは存在しないからである。
• ランダム化オンラインアルゴリズムは、無知な敵に対して2-competitive比を達成し、これが最適である。なぜなら、ランダム化アルゴリズムの下界が2であるからである。
• 決定的オンラインアルゴリズムの下界3は、Linらが定義するワークロード依存コスト関数を伴う制限付きモデルでも成立する。
• ランダム化オンラインアルゴリズムの下界2も、制限付きモデルで有効であり、提案されたランダム化アルゴリズムはこの下界を正確に満たす。
• 本稿では、連続的設定においても2-competitiveな下界が存在し、Bansalらの上界と一致することを確立する。さらに、この結果について独立した証明を提供する。