[論文レビュー] Optimal Approximation Algorithms for Multi-agent Combinatorial Problems with Discounted Price Functions

Gagan Goel, Pushkar Tripathi+1 more|ArXiv.org|Nov 6, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多エージェントの組合せ最適化における減少する限界費用をモデル化する、サブモodularity関数の簡潔な部分クラスである割引価格関数を導入する。エッジカバー、スパニングツリー、完全マッチング、最短経路問題に対して、タイトなO(log n)-近似を達成する、新しい適応的グリーディアルゴリズムを提示する。これは、標準的な複雑性仮定下での既知の下界と一致する。

ABSTRACT

Submodular functions are an important class of functions in combinatorial optimization which satisfy the natural properties of decreasing marginal costs. The study of these functions has led to strong structural properties with applications in many areas. Recently, there has been significant interest in extending the theory of algorithms for optimizing combinatorial problems (such as network design problem of spanning tree) over submodular functions. Unfortunately, the lower bounds under the general class of submodular functions are known to be very high for many of the classical problems. In this paper, we introduce and study an important subclass of submodular functions, which we call discounted price functions. These functions are succinctly representable and generalize linear cost functions. In this paper we study the following fundamental combinatorial optimization problems: Edge Cover, Spanning Tree, Perfect Matching and Shortest Path, and obtain tight upper and lower bounds for these problems. The main technical contribution of this paper is designing novel adaptive greedy algorithms for the above problems. These algorithms greedily build the solution whist rectifying mistakes made in the previous steps.

研究の動機と目的

• 一般のサブモジュラー関数が多エージェントの組合せ最適化において抱える実用的・理論的限界を是正するため、より構造的で、簡潔に表現可能な関数クラスを導入すること。
• エッジカバー、スパニングツリー、完全マッチング、最短経路といった基本的な組合せ問題を、割引価格関数を用いた多エージェント設定下で検討すること。
• 非線形かつ凹関数であるコスト関数を有するエージェントの間で、総コストを最小化するように、以前の決定を適応的に是正する効率的な近似アルゴリズムを設計すること。
• 複雑性仮定NP ≠ DTIME(n^{O(log log n)})の下で、上界と下界が一致するタイトな近似境界を確立すること。

提案手法

• d(0) = 0を満たす凹で増加的かつ非負の関数として割引価格関数を定義し、線形コストを一般化し、規模の経済を捉える。
• 多エージェント問題を、組合せ的構造（例：スパニングツリー、パス）をエージェント間で分割する問題としてモデル化し、各エージェントの総コストを個々の要素コストの割引された和として定義する。
• 反復的に解を構築しながら、エージェント間の限界コスト削減に基づいて過去の選択を是正する適応的グリーディアルゴリズムを設計する。
• 完全マッチング問題から最短経路問題への還元を用い、マッチング問題に対するβ-近似解法が、ガジェットを用いたグラフ変換により最短経路問題に対してもβ-近似解法を導くことを示す。
• 集合被覆問題からの還元を用いて近似の困難性を証明し、NP = DTIME(n^{O(log log n)})でない限り、(1−o(1))log nより良い近似は達成できないことを示す。
• 凹関数は区分的線形関数でよく近似可能であるという事実を活用し、関数の不完全な表現下でも効率的なオракルアクセスとアルゴリズムの実行可能性を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エージェントが現実の規模の経済を反映する非線形かつ凹関数のコスト関数を有する場合、多エージェントの組合せ最適化問題に対して効率的な近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 エッジカバー、スパニングツリー、完全マッチング、最短経路といった基本問題において、割引価格関数下で達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 サブモジュラー関数の表現が課す情報理論的限界と比較して、これらの問題の近似境界はどのように異なるか？
• RQ4 マッチング問題から最短経路問題への還元は、割引価格関数設定下でも近似要因を保つことができるか？
• RQ5 標準的な複雑性仮定下で、これらの問題を近似する際の本質的困難性は何か？また、タイトな境界を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、新規の適応的グリーディアルゴリズムを用いて、割引エッジカバー、スパニングツリー、完全マッチング、最短経路問題に対して、タイトなO(log n)-近似を確立した。
• 複雑性仮定NP ≠ DTIME(n^{O(log log n)})の下で、O(log n)の近似比は最適であり、集合被覆問題への還元により、(1−o(1))log nの下界が示された。
• 完全マッチングから最短経路問題への還元は近似要因を保ち、マッチングアルゴリズムを用いて割引設定下の最短経路問題を解くことが可能になる。
• 凹かつ簡潔に表現可能な割引価格関数は、一般のサブモジュラー関数に対する実用的で理論的にも妥当な代替手段を提供する。
• 限界コストの改善に基づいて過去の決定を動的に是正する適応的グリーディ手法は、標準的なグリーディ手法を上回る性能を示す。
• 一般のサブモジュラー関数では弱い境界が得られるが、割引価格関数という部分クラスを用いることで、実用的関連性を持つ強力でタイトな近似保証が可能になることが示された。