[論文レビュー] Optimal approximation and Kolmogorov widths estimates for certain singular classes related to equations of mathematical physics

I. V. Boykov|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2013

Mathematical Approximation and Integration参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、数学的物理における関数クラス $\bar{Q}^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ および $Q^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ のコルモゴロフ幅およびバベンコ幅の最適な順序評価を、$l$ 次元超立方体 $\Omega=[-1,1]^l$ 上で確立する。本稿は、近似誤差が幅の評価と一致する局所的スプラインを構成し、収束速度の観点からこれらの手法の最適性を証明する。ここで、次元 $l$、滑らかさ $r$、対数的重みパラメータ $u$ および $\gamma$ の明示的依存関係が得られる。主な結果は、$v > l/(l-1)$ のとき、正確な漸近的同値関係 $\delta_n \asymp d_n \asymp n^{-(s-\gamma)/(l-1)}\ln^u n$ が成り立つことである。

ABSTRACT

Solutions of numerous equations of mathematical physics such as elliptic, weakly singular, singular, hypersingular integral equations belong to functional classes $\bar Q^u_{r γ}(Ω,1)$ and $Q^u_{r γ}(Ω,1)$ defined over $l-$dimensional hypercube $Ω=[-1,1]^l, l=1,2,....$ The derivatives of classes' representatives grow indefinitely when the argument approaches the boundary $δΩ$. In this paper we estimate the Kolmogorov and Babenko widths of two functional classes $\bar Q^u_{r γ}(Ω,1)$ and $Q^u_{r γ}(Ω,1).$ We construct local splines belonging to those classes, such that the errors of approximation are of the same order as that of the estimated widths. Thus we construct optimal with respect to order methods for approximating the functional classes $\bar Q^u_{r γ}(Ω,1)$ and $Q^u_{r γ}(Ω,1).$ One can use these results for constructing methods optimal with respect to order for approximating a unit ball of the Sobolev spaces with logarithmic and polynomial weights.

研究の動機と目的

• 関数クラス $\bar{Q}^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ および $Q^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ の、$l$ 次元超立方体 $\Omega=[-1,1]^l$ 上でのコルモゴロフ幅およびバベンコ幅の鋭い漸近的評価を導出すること。
• 近似誤差が幅の下界と一致するような局所的スプラインを構成することで、これらのクラスに対する近似手法の最適性を確立すること。
• 幅の評価を基盤として、対数的および多項式的重みを伴う重み付きソボレフ空間の単位球への結果の拡張。
• 次元 $l$、滑らかさ $r$、対数的重みパラメータ $u$、$\gamma$ が、最適近似の収束速度に与える影響を分析すること。

提案手法

• 本稿は、関数クラス $Q^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ および $\bar{Q}^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ を、$r$ 階微分まで有界で、境界 $\partial\Omega$ に近づくと高階微分が無限大に発散する関数の空間として定義する。その発散の程度は、距離 $\rho = d(t,\partial\Omega)$ を用いた重み付きノルムで制御される。
• 領域 $\Omega$ を dyadic な部分領域 $\Delta^k_{i_1,\dots,i_l}$（$k=0,1,\dots,N-1$）に分割することで、局所的解析と区分的多項式近似の構成を可能にする。
• 各部分領域で、次数 $s$ の多項式 $P_{s,\dots,s}(f;\Delta^k_{i_1,\dots,i_l})$ を用いて関数を補間することで、連続的かつ最適な誤差制御を達成する局所的スプライン $f_N^*$ を構成する。
• テイラー展開と対数的重み $\ln^u N$ を含む積分推定を用いて近似誤差を評価し、$\|f - f_N^*\|_{C(\Omega)} \leq c N^{-s} \ln^u N$ を得る。
• 部分領域の数と自由度 $n$ の関係を $n \asymp N^{v(l-1)}$（$v = s/(s - \gamma)$）で結ぶことで、$N$ に依存する評価を $n$ に依存する幅の評価に変換する。
• $v > l/(l-1)$ のとき、漸近的同値関係 $\delta_n \asymp d_n \asymp n^{-(s-\gamma)/(l-1)}\ln^u n$ を証明し、構成されたスプライン法の最適性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数クラス $Q^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ および $\bar{Q}^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ の、$[-1,1]^l$ 上でのコルモゴロフ幅およびバベンコ幅の正確な漸近的順序は何か？
• RQ2 近似誤差が幅の下界と一致するような局所的スプライン近似を構成できるか？ その結果、近似の順序における最適性が証明できるか？
• RQ3 パrameter $u$、$\gamma$、$s$、$l$ が、これらのクラスにおける最適近似の収束速度にどのように影響を与えるか？
• RQ4 幅の漸近的挙動に異なる挙動を示す臨界閾値 $v = s/(s - \gamma)$ は何か？特に次元 $l$ とどのように関係するか？
• RQ5 バベンコ幅 $\delta_n$ が、これらのクラスにおいてコルモゴロフ幅 $d_n$ と同じ順序に達する条件は何か？

主な発見

• $v = s/(s - \gamma) > l/(l-1)$ のとき、コルモゴロフ幅 $d_n(Q^{u}_{r\gamma}(\Omega,1), C)$ およびバベンコ幅 $\delta_n(Q^{u}_{r\gamma}(\Omega,1))$ は、$n^{-(s-\gamma)/(l-1)}\ln^u n$ と漸近的に同値である。
• $v < l/(l-1)$ のとき、幅は $n^{-s/l}$ のオーダーとなり、対数的重みとは無関係に次元に依存する減衰率を示す。
• $v = l/(l-1)$ のとき、幅は対数的補正を示す：$d_n \asymp \delta_n \asymp n^{-s/l}(\ln n)^{(ul + s)/l}$。
• 構成された連続的局所スプライン $f_N^*$ は、近似誤差 $\|f - f_N^*\|_{C(\Omega)} \leq c n^{-(s-\gamma)/(l-1)} \ln^u n$ を達成し、幅の下界と一致するため、順序の観点で最適性が証明される。
• 自由度 $n$ は $n \asymp N^{v(l-1)}$ のようにスケーリングされ、メッシュサイズ $N^{-1}$ と近似の複雑さを結びつける。
• 結果は、対数的および多項式的重みを伴う重み付きソボレフ空間 $W^{r}_{\infty}(\Omega,1,\rho)$ の単位球に対する最適近似レートが、クラス $Q^{u}_{r\gamma}(\Omega,1)$ に対して導出された漸近的挙動と同一であることを確認する。