[論文レビュー] Optimal Asymptotic Entrainment of Phase-Reduced Oscillators

Anatoly Zlotnik, Jr-Shin Li|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2011

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、位相応答曲線（PRC）を用いて位相還元されたオシレーターを所望の周波数に鎖交させる最適な周期的制御を、変分法および形式平均化を用いて開発する。制御の消費電力の最小化または鎖交範囲の最大化という目的を達成する。主な結果として、位相モデルから導かれた最適制御が、元の状態空間 Hodgkin-Huxley ニューロンモデルでも高い性能を示すことが示され、位相還元が最適制御設計において有効であることが検証された。

ABSTRACT

We derive optimal periodic controls for entrainment of a self-driven oscillator to a desired frequency. The alternative objectives of minimizing power and maximizing frequency range of entrainment are considered. A state space representation of the oscillator is reduced to a linearized phase model, and the optimal periodic control is computed from the phase response curve using formal averaging and the calculus of variations. Computational methods are used to calculate the periodic orbit and the phase response curve, and a numerical method for approximating the optimal controls is introduced. Our method is applied to asymptotically control the period of spiking neural oscillators modeled using the Hodgkin-Huxley equations. This example illustrates the optimality of entrainment controls derived using phase models when applied to the original state space system.

研究の動機と目的

• 位相モデルを用いて、オシレーターを目標周波数に鎖交させる最適な周期的制御を開発すること。
• 制御電力の最小化と鎖交可能な周波数範囲の最大化というトレードオフを扱うこと。
• 位相モデルから導かれた最適制御が、元の状態空間系に適用された際に有効であるかどうかを検証すること。
• フーリエ級数およびチェビシェフ多項式を用いた数値的手法を導入し、最適波形を近似すること。
• Arnoldの舌を用いて性能を評価し、理論的予測とHodgkin-Huxleyモデルにおけるシミュレーション結果を比較すること。

提案手法

• 位相座標変換と形式平均化を用いて、状態空間オシレーターを位相モデルに還元する。
• 摂動がオシレーターの位相に与える影響を位相応答曲線（PRC）を用いてモデル化する。
• 変分法を用いて、電力の最小化または鎖交範囲の最大化を目的とした最適制御を導出する。
• 特に剛性系に対して高精度なPRC計算のためのスペクトル法を採用する。
• 最適制御をフーリエ級数とチェビシェフ多項式の最適化を用いて近似し、性能多項式を最大化する。
• 位相列の収束を二分探索法で評価することで、Arnoldの舌を計算し、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相モデルから導かれた最適鎖交制御が、元の状態空間系に効果的に適用可能かどうか。
• RQ2 最小電力制御と最大範囲制御の目的における性能および対称性の違いは何か。
• RQ3 位相モデルに基づく理論的予測が、非線形オシレーターにおける実際の鎖交行動とどの程度一致するか。
• RQ4 PRCが鎖交のための最適制御波形の形状に果たす役割は何か。
• RQ5 弱い摂動仮定が、位相還元に基づく最適制御の有効性にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 位相モデルから導かれた最適制御は、元のHodgkin-Huxley状態空間系においても、特に自然周波数付近で高い性能を示す。
• 最小電力制御波形は、周波数上昇または低下の理論的予測をよく再現し、ω₀付近で理論と一致する電力要件を示す。
• 最大範囲制御は対称性を示し、自然周波数の上でも下でも効果的に鎖交させ、正弦波制御を上回る性能を示す。
• 位相モデルにおけるArnoldの舌は非線形挙動を示し、周波数上昇に要する電力が周波数低下より小さいことが判明した。
• 最大範囲の最適制御では位相シフトΔφ = 1.623690ラジアンが得られ、一般解のπとは異なるが、PRCの形状に起因し、性能が向上した。
• 正弦波制御は最も性能が低く、PRC最適化波形の優位性が確認された。